人教高中数学专题09 函数的对称性(解析版).docx

专题09 函数的对称性
专项突破一 判断(证明)函数的对称性
1．函数图象的对称中心为（       ）
A． B． C． D．
【解析】因为，由向上平移一个单位得到，又关于对称，所以关于对称；故选：B
2．下列函数的图象中，既是轴对称图形又是中心对称的是（       ）
A． B．
C． D．
【解析】对于A，图象关于、坐标原点分别成轴对称和中心对称，A正确；
对于B，为偶函数，其图象关于轴对称，但无对称中心，B错误；
对于C，关于点成中心对称，但无对称轴，C错误；
对于D，为奇函数，其图象关于坐标原点成中心对称，但无对称轴，D错误.
故选：A.
3．设函数，则下列函数的对称中心为的是（       ）
A． B． C． D．
【解析】因为，由反比例函数关于知，
关于对称，
选项A：由图像上所有点向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的，所以对称中心为，不满足题意；
选项B：由图像上所有点向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到的，所以对称中心为，不满足题意；
选项C：由图像上所有点向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的，
所以对称中心为，满足题意；
选项D：由图像上所有点向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的，
所以对称中心为，不满足题意；
故选：C
4．函数（是自然对数的底数）的图象关于（       ）
A．直线对称 B．点对称
C．直线对称 D．点对称
【解析】由题意，它与之间没有恒等关系，相加也不为0，AB均错，而，所以的图象关于点对称．
故选：D．
5．有三个函数：①，②，③，其中图像是中心对称图形的函数共有（       ）.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解析】，显然函数的图象是中心对称图形，对称中心是，
而的图形是由的图象向左平行3个单位，再向下平移1个单位得到的，对称中心是，
由得，于是不是中心对称图形，
，中间是一条线段，它关于点对称，因此有两个中心对称图形．
故选：C．
6．已知函数，则（       ）
A．在上单调递增
B．在上单调递减
C．的图象关于直线对称
D．的图象关于点对称
【解析】因为，当时，
此时为常数函数，不具有单调性，故A、B均错误；
因为，，
所以，所以关于对称，故C正确，D错误；故选：C
7．函数的图像关于（       ）对称．
A．原点 B．x轴 C．y轴 D．直线
【解析】令，因，，即恒成立，
函数的定义域是R，，
因此，函数是R上的偶函数，
所以函数的图像关于y轴对称.故选：C
8．已知函数则（       ）
A．在R上单调递增，且图象关于中心对称
B．在R上单调递减，且图象关于中心对称
C．在R上单调递减，且图象关于中心对称
D．在R上单调递增，且图象关于中心对称
【解析】当时，，
当时，，
时，，
即对任意实数x恒有，，故图象关于中心对称；
当时，单调递增；当时，单调递增，且图像连续，
故在R上单调递增，故选：D.
9．对于函数，时， ，则函数的图象关于点成中心对称．探究函数图象的对称中心，并利用它求的值为（       ）
A． B． C． D．
【解析】因，
令，
则，
两式相加得：，解得，所以的值为2021.
故选：D
10．(多选)函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数；下列函数有对称中心的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】∵函数为奇函数，∴，
即.
对于A：由得a＝b，∴对于任意的a＝b，P(a，b)都是其对称中心，故A满足题意；
对于B：，
∵，
∴当时，P(1，－2)即为其对称中心，故B满足题意；
对于C：∵是偶函数，图象关于y轴对称，且f(x)在(0，＋∞)单调递增，在(－∞，0)单调递减，其图象大致为：
故不可能找到一个点使它为中心对称图形，故C不满足题意；
对于D：，
根据双勾函数的图象性质可知，关于(1，1)中心对称，故D满足题意.
故选：ABD.
11．函数的对称轴方程为___________.
【解析】，，
所以对称轴方程为
12．若，则___________.
【解析】根据题意，函数，则，
则有；
故；
13．若函数的最大值和最小值分别为M、m﹐则函数的图像的对称中心是_________．
【解析】函数，
令，h(x)定义域为R关于原点对称，且，
是奇函数，若的最大值为，最小值为，则，
∴，，，
∴，
∴当a＝1时，，∴g(x)关于(，1)中心对称.故答案为：(，1).
专项突破二 利用对称性求函数解析式或函数值