人教高中数学专题14 利用导数研究函数零点问题(解析版).docx

专题14 利用导数研究函数零点问题
一．函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围.
求解步骤：
第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴(或直线)在某区间上的交点问题；
第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；
第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数.
二．利用导数确定函数零点的常用方法
(1)图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极(最)值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需使用极限）．
(2)利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．
三．利用函数的零点求参数范围的方法
(1)分离参数()后，将原问题转化为的值域(最值)问题或转化为直线与的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解；
(2)利用函数零点存在定理构建不等式求解；
(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．
专项突破一　判断函数零点的个数
一、单选题
1．函数 所有零点的个数为（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】由题可知，，且，
故函数为定义域上的偶函数，且，
当，且时，，
当时，，函数单调递减，且，故函数在区间上无零点，
当时，，函数单调递减，当时，，当时，，故函数在区间上必存在一点，使得，所以函数在区间上有1个零点，
又函数为定义域上的偶函数，则函数在区间上有1个零点，又，
所以函数共有3个零点.故选：C.
2．已知函数，则函数的零点个数为（       ）
A．1 B．0 C．3 D．2
【解析】当时，，得，即，成立，
当时，，得，设，，
，得或（舍），
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以时，函数取得最大值，，，，
根据零点存在性定理可知，，存在1个零点，
综上可知，函数有2个零点.故选：D
3．函数的零点个数为(       )
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】，
令，，则，故h(x)在上单调递增，
∵，，
∴存在唯一的，使得，即，即，，
∴当时，，，单调递减，
当时，，，单调递增，
∴，
∴函数的零点个数为1．故选：B．
4．已知，则函数的零点个数为（       ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】函数定义域为，求导得：，
令，，显然在上单调递减，而，，，
则存在，使得，即，当时，，，当时，，，因此，在上单调递增，在上单调递减，
，
而，则存在使得，即在上存在唯一零点，又，令，，
则在上单调递减，，，
于是得，则存在使得，即在上存在唯一零点，
综上得：函数的零点个数为2.故选：C
5．已知a∈R，则函数零点的个数为（       ）
A．1 B．2 C．3 D．与a有关
【解析】令，得.
令，，只需看两个图像的交点的个数.
所以在R上单调递增.当时，；当时，；
所以与有且只有一个交点.故选：A
6．已知为R上的可导函数，当时，，若，则函数的零点个数为（       ）
A．0 B．1 C．2 D．0或2
【解析】构造函数，其中，则，
当时，.当时，，
此时，函数单调递减，则；当时，，
此时，函数单调递增，则.
所以，当时，；
当时，.综上所述，函数的零点个数为0.故选：A.
二、填空题
7．设函数满足，则函数的零点个数为______.
【解析】因为①，所以②，①×2-②，
得，即，则，
当，或时，单调递增，当时，单调递减，
所以的极小值为，极大值为，
因为的零点为0或3，所以由，
得或，即或，
因为的极小值为，极大值为，所以方程有3个不同的实数解，又有2个不同的实数解，所以的零点个数为5.
8．已知函数则函数零点的个数为___________
【解析】时，，时，，递减；
时，，递增；
则时，取极小值也是最小值；
时，，时，，递减；
时，，递增；则时，取极小值也是最小值，
综上所述，可作出图象，在作两条直线，
结合图象可知，与有个交点.
三、解答题
9．已知函数.
(1)求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
(2)判断函数f（x）的零点的个数，并说明理由.
【解析】(1)由，
而，所以该函数在点（0，f（0））处的切线方程为：
；
(2)函数的定义域为，由（1）可知：，
当时，单调递增，
因为，所以函数在时有唯一零点；
当时，单