人教高中数学专题15 几何体与球切、接、截的问题（练）【解析版】.docx

第一篇 热点、难点突破篇
专题15几何体与球切、接、截的问题（练）
【对点演练】
一、单选题
1．（2022秋·湖南张家界·高三慈利县第一中学校考阶段练****如下图是一个正八面体，其每一个面都是正三角形，六个顶点都在球O的球面上，则球O与正八面体的体积之比是（     ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由棱锥与球的体积公式求解，
【详解】由题意得正方形的中心即为外接球球心，设，则，
球的体积为，
而，故正八面体的体积，
得，
故选：A
2．（2022秋·安徽六安·高三六安二中校考阶段练****2022年卡塔尔世界杯是第22届世界杯足球赛，比赛于2022年11月21日至12月18日在卡塔尔境内7座城市中的12座球场举行．已知某足球的表面上有四个点A、B、C、P满足PA＝BC＝5，，，则该足球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把四面体外接球问题扩展到长方体中，求出长方体外接球半径为R，进而求出结果．
【详解】因为PA＝BC，，，所以可以把A，B，C，P四点放到长方体的四个顶点上，将四面体放入长方体中，四面体各边可看作长方体各面的对角线，如图所示：
则该足球的表面积为四面体A-BCP外接球的表面积，即为长方体外接球的表面积，
设长方体棱长为a，b，c，则有，，，
设长方体外接球半径为R，则有，解得，
所以外接球的表面积为：.
故选：D．
3．（2022秋·广东·高三校联考阶段练****九章算术·商功》中描述很多特殊几何体，例如“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”，即如图，一个长方体，沿对角面分开（图1），得到两个一模一样的堑堵（图2），将其中一个堑堵，沿平面分开（图2），得到一个四棱锥称为阳马（图3），和一个三棱锥称为鳖臑（图4）. 若鳖臑的体积为4，且，则阳马的外接球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合长方体的性质，由鳖臑（即三棱锥）的体积求得，进而求得长方体体对角线，即所求外接球直径，即可求外接球表面积.
【详解】由切割过程可知，平面，，，
∴，∴.
为长方体体对角线，即为的外接球直径，，
∴阳马的外接球的表面积为.
故选：B
4.（2023·广西梧州·统考一模）在三棱锥中，已知平面，，.若三棱锥的各顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用正弦定理求出底面的外接圆半径，将三棱锥补成三棱柱，过底面外接圆中心作垂线，则垂线的中点即为外接球球心，进而即可求解.
【详解】在中，设其外接圆半径为r，
由正弦定理可得解得 ，
三棱锥补成三棱柱，如图
设三棱锥外接球半径为R，
，
所以球O的表面积为
故选：D
二、填空题
5．（2022·四川广安·广安二中校考模拟预测）已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，.又点，，都在球的球面上，且点到平面的距离为，则球的体积为______.
【答案】
【分析】首先求外接圆的半径，再求球的半径，最后求球的体积.
【详解】中，根据正弦定理，得,所以外接圆的半径为2，又球心到平面的距离为，所以球的半径，
所以球的体积.
故答案为：
6．（2022秋·河南·高三安阳一中校联考阶段练****已知某圆台的上、下底面面积分别为和，高为2，上、下底面的圆周在同一球面上，则该圆台外接球的表面积为__________．
【答案】
【分析】由题意圆台上下底面的半径分别为1和2，再分析两底面在球心同侧于异侧时两种情况，再设球的半径为R，根据垂径定理列式求解即可.
【详解】由题可知圆台上下底面的半径分别为1和2，外接球轴截面如图所示，
设球的半径为R，当两底面在球心同侧时，有，即，即，即，方程无解；
当两底面在球心异侧时，有，即，所以，即，则，．
∴这个球的表面积是．
故答案为：
7．（2022秋·湖南株洲·高三校联考阶段练****在四棱锥P－ABCD中，已知底面ABCD是边长为的正方形，其顶点P到底面ABCD的距离为4．该四棱锥的外接球O的半径为7，若球心O在四棱锥P－ABCD内，则顶点P的轨迹长度为_____________．
【答案】
【分析】画出图象，判断出点的轨迹，结合勾股定理以及圆的周长公式求得正确答案.
【详解】设正方形的中心为，
因为四边形ABCD是边长为的正方形，对角线长为，
所以该正方形外接圆半径，
所以球心O到底面ABCD的距离，
又顶点P到底面ABCD的距离为4，点P在与底面ABCD平行的截面圆的圆周上，
由球心O在四棱锥P－ABCD内，可