人教高中数学专题15 利用导数研究方程的根(解析版).docx

专题15 利用导数研究方程的根
一、单选题
1．已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【解析】对原函数求导得，，
因为函数有两个极值点，
所以有两个不等实根，即有两个不等实根，
亦即有两个不等实根.令，则
可知在上单调递增，在上单调递减，
所以，又因为当时，，当时，，
所以，解得，即a的范围是.故选：B
2．若方程有三个不同的实数根，则的取值范围（       ）
A． B． C． D．
【解析】设，，令，解得或，
则，随的变化如下表







单调递增
极大值4
单调递减
极小值
单调递增
则当时，函数有极大值；当时，函数有极小值，
又当时，，当，，
所以当时，有三个不同的实数根，此时，故选：.
3．若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【解析】由题意得，设，.
当时，，为增函数；
当时，，为减函数,且.
所以有最大值，简图如下，
由图可知，时符合题意.故选：C.
4．设函数，若方程有个不同的实根，则的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【解析】令；
方程有个不同的实根等价于与有个不同的交点；
当时，，
则当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，；
则可得图象如下图所示，
由图象可知：当时，与有个不同的交点；
综上所述：实数的取值范围为.故选：A.
5．若关于x的方程在区间内恰有两个相异的实根，则实数m的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【解析】依题意关于x的方程在区间内恰有两个相异的实根，
，构造函数，，
所以在区间递减；在区间递增.
，，，
所以.故选：D
6．已知函数，若关于的方程有且仅有三个不同的实数解，则实数的取值范围是(       )
A． B． C． D．
【解析】因为，所以，
当，；当，，
所以在和单调递减，在单调递增，
且当时，，，故的大致图象如图所示：
关于的方程等价于，
即或，由图知，方程有且仅有一解，则有两解，
所以，解得，故选:C.
7．已知曲线与曲线有且只有两个公共点，则实数a的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【解析】根据题意，可得函数的定义域为：
方程有两个实数解，，即得，
方程有两个实数解，
此时令，则直线与函数的图象有两个交点，
令，则有，或，；,
在上单调递增，在上单调递减,（1）,
当时，；当时，
若使直线与有两个交点，则需使.故选：D．
8．若方程在区间内有个不等实根，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【解析】由，得，
因为当时，函数，，
所以在区间内，单调递减﹐在区间内单调递增﹐
而函数，
在区间内单调递增，在区间内单调递减.
所以，若方程有两个不等实根，则只需即可，
即，解得.故选：D
9．已知关于x的方程在上有两解，则实数k的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【解析】由的方程，则，，
设，，则，
令，，则，
即在上为增函数，，，
当时，，，当时，，，
关于的方程在，上有两解，，
又，即，故选：B
10．已知函数若方程恰有3个不同的实根，则实数a的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【解析】由题，当时，令，
根据一次函数性质可得，此时有一个根，，此时无根；
当时，令，求导，
令，当时，在上单调递增，故无零点，不满足题意；
当时，在单调递减，在单调递增，
由题，函数恰有3个零点，则说明在当时，有1个零点，
在时有两个零点，故可知且，
所以，解得；
综上可得，故选：B
二、多选题
11．若关于的方程有两个实数根，则的取值可以是（       ）
A． B． C． D．
【解析】
，
相当于用和这两条水平的直线去截函数的图像一共要有两个交点.
，所以当时，；当时，；
所以函数的增区间为减区间为.且当取时，，当取时，，. 所以函数图象如图所示，
当时，，和和函数的图象各有一个交点，共有两个交点，满足题意；
当时，，和和函数的图象各有一个交点，共有两个交点，满足题意；
当时，，和和函数的图象各有两个交点，共有四个交点，不满足题意；
当时，，和和函数的图象各有两个交点和零个交点，共有两个交点，满足题意.
故选：ABD
12．已知函数，（是自然对数的底数），若关于x的方程恰有两个不等实根､，且，则的可能取值是（