人教高中数学专题17 立体几何外接球与内切球必刷100题(解析版).docx

专题17 立体几何外接球与内切球必刷100题
任务一:善良模式(基础)1-30题
一、单选题
1．已知正四棱锥的所有顶点都在球的球面上，且正四棱锥的底面面积为6，侧面积为，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据几何体的性质，转化为平面问题，利用勾股定理求解得出球的半径即可求出球的体积
【详解】
设底面边长为，侧棱长为，
因为底面面积为6，所以，得，
因为侧面积为，
所以，解得，
连接交于点，连接，则可得平面，，
所以四棱锥的高，
点在上，连接，设球的半径为，则
，解得，
所以球的体积为，
故选：A
2．《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥为鳖臑，平面，，，，若三棱锥的所有顶点都在球上，则球的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
将鳖臑补形为长方体,求出长方体的外接球的半径即可.
【详解】
由题意,将鳖臑补形为长方体如图,则三棱锥的外接球即为长方体的外接球.
外接球的半径为
故选：A
3．已知是以为斜边的直角三角形，为平面外一点，且平面平面，，，，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由为直角三角形，可知中点为外接圆的圆心，又平面平面，所以球心在过与平面垂直的直线上，且球心为的外心.利用正余弦定理求出外接圆的半径即为球的半径，从而求出球的体积.
【详解】
解：取中点，过点做直线垂直，因为为直角三角形，所以点为外接圆的圆心，又平面平面，所以平面，根据球的性质，球心一定在垂线上，且球心为的外心.
在中，，
所以，则外接圆的半径为
即外接球的半径为，所以体积为.
故选：D
4．三棱锥中，，，的面积为，则此三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用三角形全等和三角形的面积公式求出高，求解直角三角形得，利用余弦定理得出，可得为三棱锥外接球的直径，即可求出外接球的表面积.
【详解】
，，，
又，，则，
取中点，连接，
又由的面积为，可得的高，
则可得，
在中，由余弦定理，
，解得，
则，可得，，
，
根据球的性质可得为三棱锥外接球的直径，则半径为1，
故外接球的表面积为.
故选：A.
5．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（biē nào）．已知在鳖臑中，平面，，则该鳖臑的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
将问题转化为棱长为的正方体的外接球的求解问题，根据正方体外接球半径为体对角线长一半可得所求外接球半径，根据球的表面积公式可求得结果.
【详解】
如图所示，鳖臑的外接球即为棱长为的正方体的外接球，
该鳖臑的外接球半径，
该外接球表面积.
故选：C.
6．已知三棱锥中，，，的中点为E，DE的中点恰好为点A在平面BCD上的射影，则该三棱锥外接球半径的平方为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
如图，设点A在面BCD上的射影为点F，根据题意和勾股定理求出BF、AF，
设球心到平面BCD的距离为h，利用勾股定理求出h，进而可得出结果.
【详解】
由题意知，如图，为等腰直角三角形，E是外接圆的圆心，
设点A在面BCD上的射影为点F，则点F为DE的中点，
所以，
所以，
设球心到平面BCD的距离为h，由BO=AO，在和中，
可得，解得，所以.
故选：D
7．如图，把两个完全相同的直三角尺，斜边重合，沿其斜边折叠形成一个120°的二面角，其中，且，则空间四边形外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
过点作于，连接，证得为二面角的平面角，进而求出的长度，然后取的中点,证得为空间四边形外接球的球心，从而可知为球直径，从而结合球的表面积的公式即可求出结果.
【详解】
过点作于，连接，由于和全等，所以，，所以为二面角的平面角，即，在中，结合余弦定理得，即，因此，因为，所以，
在中，，从而，在中，，又因为，所以，取的中点，连接，由于是和的斜边，所以
，故为空间四边形外接球的球心，为球直径，所以空间四边形外接球的半径为，所以空间四边形外接球的表面积为，
故选：B.
8．已知直三棱柱的各棱长都相等，三棱柱的所有顶点都在球O的表面上，若球O的表面积为28π，则该三棱柱的体积为（ ）
A．6 B．18 C．12 D．16
【答案】B
【分析】
根据球的表面积求出外接球的半