人教高中数学专题18 数列的通项公式和数列求和(解析版).docx

专题18 数列的通项公式和数列求和
【考纲要求】
掌握数列求和的几种基本方法．
【思维导图】
【考点总结】
一、倒序相加法
如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的．
二、错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的．
三、裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
裂项相消求和经常用到下列拆项公式：
(1)＝－；
(2)＝；
(3)＝－．
【思维导图】
【考点总结】
一、分组求和法
分组求和一般适用于两种形式：
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和；
(2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．
二、并项求和法
一个数列的前n项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
【题型汇编】
题型一：倒序相加法数列的前n项和
题型二：错位相减法数列的前n项和
题型三：裂项相消法数列的前n项和
题型四：分组并项法数列的前n项和
题型五：数列求和的其他方法
【题型讲解】
题型一：倒序相加法数列的前n项和
1．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知函数，则______．
【答案】4043
【解析】
【分析】
根据题意，化简得到，结合倒序相加法求和，即可求解.
【详解】
由题意，函数，
可得
，
设，
则
两式相加，可得
，
所以.
故答案为：.
2．（2022·江西萍乡·二模（理））已知函数，等差数列满足，则__________．
【答案】##
【解析】
【分析】
利用倒序相加法求得正确答案.
【详解】
.
依题意是等差数列，
令，
，
结合等差数列的性质，两式相加得.
故答案为：.
3．（2022·四川遂宁·三模（文））德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意先求，然后利用倒序相加法求，则由可得，求出的最小值即可求得的取值范围
【详解】
因为，
所以，
由，
，
所以，所以，
所以由，得，
，
，
所以，
令，（）则当，递减，当时，递增，
因为，
所以，
所以，
即的取值范围是，
故答案为：
4．（2022·黑龙江齐齐哈尔·三模（文））已知数列的前n项和为，且，设函数，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】
根据可求，从而可求.易验证，故可采用倒序相加法求题设式子的值．
【详解】
∵①，
∴当时，②，
①－②得，∴；
当时，，∴，此时仍然成立，
∴．
∴当n=1时，；
当时，，
当n=1时，上式也成立，故．
由于，
设
则，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题关键是熟练掌握利用前n项和与通项公式的关系求得，观察猜测并发现为定值，从而利用倒序相加法即可求和．
题型二：错位相减法数列的前n项和
一、单选题
1．（2022·广东·三模）在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数､公式和定理，如：欧拉函数（）的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数，（互素是指两个整数的公约数只有1），例如：；（与3互素有1､2）；（与9互素有1､2､4､5､7､8）.记为数列的前n项和，则=（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据欧拉函数定义得出，然后由错位相减法求得和，从而可得．
【详解】
因为与互素的数为1，2，4，5，7，8，10，11，，，共有，所以，则，
于是①，
②，
由①-②得，
则.于是.
故选：A．
二、填空题
1．（2022·山东聊城·二模）已知数列，当时，，则数列的前项的和为______．
【答案】
【解析】
【分析】
分别取、、、时，满足的项数，计算得出，