人教高中数学专题20 数列综合问题的探究（解析版）.docx

专题20 数列综合问题的探究
1、【2022年全国乙卷】嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列bn：b1=1+1α1，b2=1+1α1+1α2，b3=1+1α1+1α2+1α3，…，依此类推，其中αk∈N∗(k=1,2,⋯)．则（       ）
A．b1<b5 B．b3<b8 C．b6<b2 D．b4<b7
【答案】D
【解析】解：因为αk∈N∗k=1,2,⋯，
所以α1<α1+1α2，1α1>1α1+1α2，得到b1>b2，
同理α1+1α2>α1+1α2+1α3，可得b2<b3，b1>b3
又因为1α2>1α2+1α3+1α4, α1+1α2+1α3<α1+1α2+1α3+1α4，
故b2<b4，b3>b4；
以此类推，可得b1>b3>b5>b7>…，b7>b8，故A错误；
b1>b7>b8，故B错误；
1α2>1α2+1α3+…1α6，得b2<b6，故C错误；
α1+1α2+1α3+1α4>α1+1α2+…1α6+1α7，得b4<b7，故D正确.
故选：D.
2、【2020年新课标2卷理科】0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期.对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由知，序列的周期为m，由已知，，
对于选项A，
，不满足；
对于选项B，
，不满足；
对于选项D，
，不满足；
故选：C
3、（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））数列满足，前16项和为540，则 ______________.
【答案】
【解析】，
当为奇数时，；当为偶数时，.
设数列的前项和为，
，
.
故答案为：.
4、（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
【解析】（1）由题设可得
又，，
故，即，即
所以为等差数列，故.
（2）设的前项和为，则，
因为，
所以
.
5、【2022年新高考1卷】记Sn为数列an的前n项和，已知a1=1,Snan是公差为13的等差数列．
(1)求an的通项公式；
(2)证明：1a1+1a2+⋯+1an<2．
【答案】(1)an=nn+12
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）利用等差数列的通项公式求得Snan=1+13n−1=n+23，得到Sn=n+2an3，利用和与项的关系得到当n≥2时，an=Sn−Sn−1=n+2an3−n+1an−13,进而得：anan−1=n+1n−1，利用累乘法求得an=nn+12，检验对于n=1也成立，得到an的通项公式an=nn+12；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到1a1+1a2+⋯+1an=21−1n+1，进而证得.
(1)
∵a1=1，∴S1=a1=1,∴S1a1=1,
又∵Snan是公差为13的等差数列，
∴Snan=1+13n−1=n+23,∴Sn=n+2an3,
∴当n≥2时，Sn−1=n+1an−13，
∴an=Sn−Sn−1=n+2an3−n+1an−13,
整理得：n−1an=n+1an−1,
即anan−1=n+1n−1,
∴an=a1×a2a1×a3a2×…×an−1an−2×anan−1
=1×32×43×…×nn−2×n+1n−1=nn+12，
显然对于n=1也成立，
∴an的通项公式an=nn+12；
(2)
1an=2nn+1=21n−1n+1,
∴1a1+1a2+⋯+1an =21−12+12−13+⋯1n−1n+1=21−1n+1<2
6、【2022年新高考2卷】已知an为等差数列，bn是公比为2的等比数列，且a2−b2=a3−b3=b4−a4．
(1)证明：a1=b1；
(2)求集合kbk=am+a1,1≤m≤500中元素个数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)9．
【解析】
【分析】
（1）设数列an的公差为d，根据题意列出方程组即可证出；
（2）根据题意化简可得m=2k−2，即可解出．
(1)
设数列an的公差为d，所以，a1+d−2b1=a1+2d−4b1a1+d−2b1=8b1−a1+3d，即可解得，b1=a1=d2，所以原命题得证．
(2)
由（1）知，b1=a1=d2，所以bk=am+a1