人教高中数学专题24 利用导数解决双变量问题(解析版).docx

专题24 利用导数解决双变量问题
一、单选题
1．设函数，函数，若对于，，使成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由题意只需，对函数求导，判断单调性求出最小值，对函数讨论对称轴和区间的关系，得到函数最小值，利用即可得到实数的取值范围.
【详解】
若对于，，使成立，只需，
因为，所以，当时，，所以在上是减函数，所以函数取得最小值．
因为，
当时，在上单调递增，函数取得最小值，需，不成立；
当时，在上单调递减，函数取得最小值，需，解得，此时；
当时，在上单调递减，在上单调递增，函数取得最小值，需，解得或，此时无解；
综上，实数的取值范围是，
故选:A．
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的最值，考查二次函数在区间的最值的求法，考查分类讨论思想和转化思想，属于中档题.
2．已知函数，且有两个极值点，其中，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
的两个极值点是的两个根，根据韦达定理，确定的关系，用表示出，用表示出，求该函数的最小值即可.
【详解】
解：的定义域，
，令，则必有两根，
，所以，
，
，
，
当时，，递减，
所以
的最小值为
故选：A.
【点睛】
求二元函数的最小值通过二元之间的关系，转化为求一元函数的最小值，同时考查运算求解能力和转化化归的思想方法，中档题.
3．已知函数，若，其中，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由题意转化条件，通过导数判断函数的单调性，以及画出函数的图象，数形结合可知，进而可得，最后通过设函数，利用导数求函数的最大值.
【详解】
由题意，， ，则，
，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
又时，，时，，
作函数的图象如下：
由图可知，当时，有唯一解，故，且，
∴，
设，，则，令，解得，
易得当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
故，即的最大值为.
故选：A.
【点睛】
本题考查利用导数求函数的最值，重点考查转化与化归的思想，变形计算能力，数形结合思想，属于中档题，本题可得关键是判断.
4．设函数，函数，若对于，，使成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据对于，，使成立，用导数法求得的最小值，用二次函数的性质求得的最小值，再解不等式即可.
【详解】
因为，
所以，
，
，
，
当时，，所以在上是增函数，
所以函数取得最小值.
因为，
当时，取得最小值，
因为对于，，使成立，
所以，不成立；
当时，取得最小值，
因为对于，，使成立，
所以，解得，此时；
当时，取得最小值，
因为对于，，使成立，
所以，解得，此时；
综上：实数的取值范围是.
故选：A
【点睛】
本题主要考查双变量问题以及导数与函数的最值，二次函数的性质，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.
5．已知函数，，实数，满足．若，，使得成立，则的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
【答案】A
【分析】
首先化简函数，和，，并判断函数的单调性，由条件转化为子集关系，从而确定值.
【详解】
，
，，
当时，解得：，当时，解得：，
所以在的单调递增区间是，单调递减区间是，当时取得最小值，
，函数在单调递增，
，，所以，，
令，解得：或，
由条件可知的值域是值域的子集，
所以的最大值是，的最小值是，
故的最大值是.
故选：A
【点睛】
本题考查函数的性质的综合应用，以及双变量问题转化为子集问题求参数的取值范围，重点考查转化与化归的思想，计算能力，属于中档题型.
二、解答题
6．已知函数．
（Ⅰ）求函数的图象在点处的切线方程；
（Ⅱ）若存在两个不相等的数，，满足，求证：．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.
【分析】
（Ⅰ）首先求函数的导数，利用导数的几何意义，求函数的图象在点处的切线方程；（Ⅱ）首先确定函数零点的区间，构造函数，利用导数判断函数的单调性，并得到在上恒成立，并利用单调性，变形得到.
【详解】
（Ⅰ），
所以的图象在点处的切线方程为．
（Ⅱ）令，解得，
当时，在．上单调递增；当时， ， 在上单调递减．
所以为的极大值点，不妨设，由题可知．
令，
，因为，所以，
所以单调递减．
又，所以在上恒成立，
即在上恒成立．
所以