人教高中数学专题25 二项式定理 分层训练 （解析版）.docx

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专题25 二项式定理
【练基础】
单选题
1．（2020·全国·统考高考真题）的展开式中x3y3的系数为（    ）
A．5 B．10
C．15 D．20
【答案】C
【分析】求得展开式的通项公式为（且），即可求得与展开式的乘积为或形式，对分别赋值为3，1即可求得的系数，问题得解.
【详解】展开式的通项公式为（且）
所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：
和
在中，令，可得：，该项中的系数为，
在中，令，可得：，该项中的系数为
所以的系数为
故选：C
【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.
2．（2022·北京·统考高考真题）若，则（    ）
A．40 B．41 C． D．
【答案】B
【分析】利用赋值法可求的值.
【详解】令，则，
令，则，
故，
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故选：B.
3．（2023·全国·高三专题练****的展开式中的系数是（    ）
A．60 B．80 C．84 D．120
【答案】D
【解析】的展开式中的系数是，借助组合公式：，逐一计算即可.
【详解】的展开式中的系数是
因为且，所以，
所以，
以此类推，.
故选：D.
【点睛】本题关键点在于使用组合公式：，以达到简化运算的作用.
4．（2022秋·广东汕头·高三统考期末）的展开式中的系数为（    ）
A．60 B．24 C． D．
【答案】B
【分析】首先写出展开式通项，再考虑通项与相乘得到含的项，即可得系数.
【详解】由的展开式通项为，
所以的展开式项为，
故系数为.
故选：B
5．（2023秋·重庆永川·高三重庆市永川北山中学校校考期末）若，则（    ）
A．-448 B．-112 C．112 D．448
【答案】C
【分析】，然后根据二项式展开式项的系数计算即可.
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【详解】，.
故选：C.
6．（2023春·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练****已知，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】令，可得，可得出，利用展开式通项可知当为奇数时，，当为偶数时，，然后令可得出的值.
【详解】令，可得，则，
二项式的展开式通项为，则.
当为奇数时，，当为偶数时，，
因此，.
故选：A.
7．（2022·重庆永川·重庆市永川北山中学校校考模拟预测）已知，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件结合组合数计算公式变形和式的通项，再借助二项式性质即可得解.
【详解】依题意，，
当时，，
于是得
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.
故选：B
8．（2022·全国·高三专题练****已知是数列的前n项和，若，数列的首项，则（    ）
A． B． C．2021 D．
【答案】A
【分析】通过对二项展开式赋值求解出的值，然后通过所给的条件变形得到为等差数列，从而求解出的通项公式，即可求解出的值.
【详解】令，得.
又因为，所以.
由，得，所以，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，
所以，所以.
故选：A.
【点睛】本题考查二项展开式与数列的综合运用，对学生的分析与计算能力要求较高，难度较难.解答问题时注意的运用.
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练****已知二项式的展开式中各项系数之和是，则下列说法正确的有（    ）
A．展开式共有7项 B．二项式系数最大的项是第4项
C．所有二项式系数和为128 D．展开式的有理项共有4项
【答案】CD
【分析】运用代入法，结合二项式系数和公式、通项公式以及二项式系数性质逐一判断即可.
【详解】因为二项式的展开式中各项系数之和是，
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所以令可得：.
A：因为，所以展开式共有项，因此本选项说法不正确；
B：因为，所以二项式系数最大的项是第4项和第项，
因此本选项说法不正确；
C：因为，所以所有二项式系数和为，所以本选项说法正确；
D：由B可知：，当时，对应的项是有理项，
故本选项说法正确，
故选：CD
10．（2022·山东济南·统考一模）的展开式中，下列结论正确的是（    ）
A．展开式共6项 B．常数项为64
C．所有项的系数之和为729 D．所有项的二项式系数之和为64
【答案】CD
【分析】利用二项展开式的特点判断A；求出指定项判断B；利用赋值法求出展开式系数和判断C；利用二项式系数的性质判断D作答.
【详解】展开式的总项数是7，A不正确；
展开式的常数项为，