人教专题03 导数及其应用——2020年高考真题和模拟题理科数学分项汇编（教师版含解析）.docx

专题03 导数及其应用
1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】函数的图像在点处的切线方程为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，，，，
因此，所求切线的方程为，即.
故选：B．
【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题.
2．【2020年高考全国III卷理数】若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为
A．y=2x+1 B．y=2x+
C．y=x+1 D．y=x+
【答案】D
【解析】设直线在曲线上的切点为，则，
函数的导数为，则直线的斜率，
设直线的方程为，即，
由于直线与圆相切，则，
两边平方并整理得，解得，(舍)，
则直线的方程为，即.
故选：D．
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.
3．【2020年高考北京】为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.
给出下列四个结论：
①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是____________________．
【答案】①②③
【解析】表示区间端点连线斜率的负数，
在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；
甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强．④错误；
在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；
在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；
故答案为：①②③
【点睛】本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.
4．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数.
(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；
(2)当x≥0时，f(x)≥x3+1，求a的取值范围.
【解析】(1)当a=1时，f(x)=ex+x2–x，则=ex+2x–1．
故当x∈(–∞，0)时，<0；当x∈(0，+∞)时，>0．所以f(x)在(–∞，0)单调递减，在(0，+∞)单调递增．
(2)等价于.
设函数，则
.
(i)若2a+1≤0，即，则当x∈(0，2)时，>0.所以g(x)在(0，2)单调递增，而g(0)=1，故当x∈(0，2)时，g(x)>1，不合题意.
(ii)若0<2a+1<2，即，则当x∈(0，2a+1)∪(2，+∞)时，g'(x)<0；当x∈(2a+1，2)时，g'(x)>0.所以g(x)在(0，2a+1)，(2，+∞)单调递减，在(2a+1，2)单调递增.由于g(0)=1，所以g(x)≤1当且仅当g(2)=(7−4a)e−2≤1，即a≥.
所以当时，g(x)≤1.
(iii)若2a+1≥2，即，则g(x)≤.
由于，故由(ii)可得≤1.
故当时，g(x)≤1.
综上，a的取值范围是.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．
5．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数．
(1)讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；
(2)证明： ；
(3)设，证明：．
【解析】(1)
．
当时，；当时，．
所以在区间单调递增，在区间单调递减．
(2)因为，由(1)知，在区间的最大值为，
最小值为．而是周期为的周期函数，故．
(3)由于
，
所以．
6．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．
(1)求B．
(2)若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．
【解析】(1)．
依题意得，即.
故．
(2)由(1)知，.
令，解得或.
与的情况为：
x