人教专题3.4 幂函数 2022年高考数学一轮复习讲练测（讲）解析版.docx

专题3.4 幂函数
新课程考试要求
1.了解幂函数的概念．掌握幂函数
，的图象和性质.
2.了解幂函数的变化特征.
核心素养
培养学生数学抽象（例1）、数学运算（例5--10）、数学建模、逻辑推理（例10）、直观想象（例2.3.4）等核心数学素养.
考向预测
1.与二次函数相关的单调性、最值问题.除单独考查外，多在题目中应用函数的图象和性质；
2.幂函数的图象与性质的应用.
3.在分段函数中考查幂函数的图象和性质.
【知识清单】
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.
(2)常见的5种幂函数的图象
(3)常见的5种幂函数的性质
函数特征性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x∈R，且x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y∈R，且y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
【考点分类剖析】
考点一 ：幂函数的概念
例1.已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数.
【答案】(1) m＝1.(2) m＝－1.(3) .(4)－1±.
【解析】 (1)若f(x)为正比例函数，则，∴m＝1.
(2)若f(x)为反比例函数，则，∴m＝－1.
(3)若f(x)为二次函数，则，∴m＝.
(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，∴m＝－1±.
【总结提升】
形如y＝xα的函数叫幂函数，这里需有：(1)系数为1，(2)指数为一常数，(3)后面不加任何项．例如y＝3x、y＝xx＋1、y＝x2＋1均不是幂函数，再者注意与指数函数的区别，例如：y＝x2是幂函数，y＝2x是指数函数．
【变式探究】
（2021·全国高一课时练****设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为（ ）
A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3
【答案】A
【解析】
利用幂函数的性质逐一验证选项即可．
【详解】
当时，函数y＝的定义域为，不是R，所以不成立；
当时，函数y＝的定义域为，不是R，所以不成立；
当或时，满足函数y＝xα的定义域为R，
故选：A.
考点二 ：幂函数的图象
例2.（2020·四川省高一期末）若四个幂函数，，，在同一坐标系中的部分图象如图，则、、、的大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
由幂函数的图象与性质，在第一象限内，在的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数依次增大，可得.
故选：B.
例3.若幂函数与在第一象限的图象如图所示，则与的取值情况为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】在第一象限作出幂函数 的图象，在 内取同一值 ，
作直线 ，与各图象有交点，则由“指大图高”，可知
如图，
故选D．
例4.（2021·浙江高一期末）已知幂函数的图像过点，则________，_________．
【答案】
【解析】
将点的坐标代入解析式求解即可.
【详解】
由题意知，，所以可得，所以，可知.
故答案为：；
【总结提升】
1.函数y＝xα的形式的图象都过点(1,1)．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0时，第一象限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定y轴左侧的增减性即可．
2.幂函数y＝xα的形式特点是“幂指数坐在x的肩膀上”，往往利用待定系数法，求幂指数，得到函数解析式，进一步解题.
【变式探究】
1．（2020·广西壮族自治区南宁三中高二月考（文））函数的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
，该函数的定义域为，所以排除C；
因为函数为偶函数，所以排除D；
又，在第一象限内的图像与的图像类似，排除B.
故选A．
2．（2020·上海高一课时练****如图是幂函数的部分图像,已知取这四个值,则于曲线相对应的依次为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
方法一 曲线过点，且在第一象限单调递增，，为.显然对应，对应.曲线过点，且在第一象限单调递减，，为.显然对应，对应.
方法二 令，分别代入，得，，
所以曲线相对应的依次为.
故选：.
3．（2020·上海高一课时练****下列四个结论中，正确的是（