人教专题3.8 导数的综合问题-重难点题型精练（举一反三）（新高考地区专用）（解析版）.docx

专题3.8 导数的综合问题-重难点题型精练
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022•青羊区校级开学）已知函数f（x）＝ae2x+（a﹣2）ex﹣x有两个零点，则a的取值范围为（　　）
A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，e) D．（1，e）
【解题思路】参数分离，将原题改造成为a=2ex+xe2x+ex，求y＝a与g(x)=2et+xe2+ec有两个交点．
【解答过程】解：由f（x）＝ae2x+（a﹣2）ex﹣x＝0得到a=2ex+xe2x+ex，
令g(x)=2ex+xe2x+ex，由题意可以看做是y＝a与g（x）有两个交点，
g'(x)=ex(2ex+1)(−ex−x+1)(e2x+ex)2，
其中ex＞0，2ex+1＞0，﹣ex﹣x+1是单调递减的，并且x＝0时，﹣ex﹣x+1＝0，
因此函数g'(x)=ex(2ex+1)(−ex−x+1)(e2x+ex)2存在唯一零点，x＝0，
当x＞0时，g′（x）＜0，
x＜0时，g′（x）＞0，
g（0）＝1，
得如下函数图象：
显然当0＜a＜1时，y＝a与g（x）有两个交点，
故选：B．
2．（5分）（2022春•沈阳期末）已知函数f（x）＝aex+ln（ea）（a＞0），若对任意实数x＞1，不等式f（x）≥ln（x﹣1）总成立，则实数a的取值范围为（　　）
A．[e2，+∞） B．[1e2，+∞） C．（0，1e2] D．（1e2，e2]
【解题思路】首先将原不等式转化为ex+lna+x+lna≥x﹣1+ln（x﹣1）在x＞1时恒成立，构造函数h（x）＝x+lnx，将其转化为h（ex+lna）≥h（x﹣1），再利用h（x）的单调性转化为lna≥ln（x﹣1）﹣x，
构造函数g（x）＝ln（x﹣1）﹣x（x＞1），利用导数得到函数g（x）的最大值，进而求出a的取值范围．
【解答过程】解：由题意可知，aex+ln（ea）≥ln（x﹣1）在x＞1时恒成立，
即ex+lna+1+lna≥ln（x﹣1）在x＞1时恒成立，
即ex+lna+x+lna≥x﹣1+ln（x﹣1）在x＞1时恒成立，
构造函数h（x）＝x+lnx，故原不等式等价于h（ex+lna）≥h（x﹣1），
易知函数h（x）在（1，+∞）上单调递增，
故转化为ex+lna≥x﹣1，
所以x+lna≥ln（x﹣1），
所以lna≥ln（x﹣1）﹣x，
构造函数g（x）＝ln（x﹣1）﹣x（x＞1），则g'（x）=1x−1−1=2−xx−1，
令g'（x）＞0得，1＜x＜2；令g'（x）＜0得，x＞2，
所以g（x）在（1，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，
所以g（x）的最大值为g（2）＝﹣2，
故lna≥﹣2，解得a≥1e2，
即实数a的取值范围为[1e2，+∞），
故选：B．
3．（5分）（2022•全国开学）已知函数f（x）＝aexlnx（a≠0），若∃x∈[3，+∞），f（x）＜x2+xlna成立，则a的取值范围是（　　）
A．[3e3，+∞) B．[1e3，+∞) C．(0，3e3] D．(0，3e3)
【解题思路】先将不等式f（x）＜x2+xlna变形为lnxx＜ln(aex)aex，再根据函数ℎ(x)=lnxx在[3，+∞）上为减函数，即可得到x＞aex，然后分离参数求出a的取值范围．
【解答过程】解：因为f（x）＜x2+xlna，所以aexlnx＜x2+xlna，
同时除以xaex，得lnxx＜ln(aex)aex，∃x∈[3，+∞)使该不等式成立．
设ℎ(x)=lnxx，ℎ'(x)=1−lnxx2，当x≥3时，h′（x）＜0，
所以ℎ(x)=lnxx在[3，+∞）为减函数，
所以，由h（x）＜h（aex），得x＞aex，即a＜(xex)max，
因为xex=lnexex≤lne3e3=3e3，所以a＜(xex)max=3e3，
即a的取值范围是(0，3e3)．
故选：D．
4．（5分）（2021秋•萍乡期末）已知函数f(x)=xlnx−ax+1e(a+1)有两个零点x1，x2，若x1+x2＞2e，则实数a的取值范围是（　　）
A．（0，+∞） B．（﹣1，0）
C．{a|a＝0} D．（﹣1，0）∪（0，+∞）
【解题思路】先利用导数的符号变化得到函数的单调区间和极值点，因为1e是函数f（x）的一个零点，再比较零点和极值点的大小关系进行求解．
【解答过程】解：因为f(x)=xlnx−ax+1e(a+1)，所以f′（x）＝lnx+（1﹣a），
令f′（x）＞0，即lnx＞a﹣1，解得x＞ea﹣1，
令f′（x