人教版 专题27 数列大题综合 （新高考通用）解析版.docx

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【冲刺985/211名校之2023届新高考题型模拟训练】
专题27 数列大题综合 （新高考通用）
一、解答题
1．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知等差数列的首项为1，公差，其前n项和满足.
(1)求公差d；
(2)是否存在正整数m，k使得.
【答案】(1)
(2)存在，理由见解析
【分析】（1）由等差数列求和公式列出方程，求出公差；
（2）在第一问的基础上，得到通项公式，利用求和公式得到，法一：由m，k为正整数，列出符合要求的解；法二：得到，且，从而得到，写成符合要求的解.
【详解】（1）因为，，所以，
所以，即，解得：或.
因为，所以.
（2）法一：由（1）得，，
，
时；
时；
时；
时（舍），
当时，，不合题意；
满足条件的有三组.
法二：由（1）得，，
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故，
所以，且，
所以，所以，，.
存在满足条件的有三组.
2．（2022秋·广东·高三校联考阶段练****已知数列满足，．
(1)证明：是等比数列；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，由等比数列的定义即可证明；
（2）先由（1）中的结论可得的通项公式，从而得到的通项公式，再由裂项相消法即可得到结果.
【详解】（1）证明：因为当时，，所以，
所以，且，也满足，即首项为，公比为4的等比数列．
（2）由（1）知，
所以，
所以，
所以
3．（2023秋·广东揭阳·高三统考期末）已知数列满足，是以1为首项，2为公比的等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
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【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由等比数列通项公式可得，可构造，利用常数列求解，也可根据，利用累加法求解；
（2）根据裂项相消法求和即可.
【详解】（1）由题意得，
法一：因为，即，
所以是常数列，
所以，故.
法二：当时，，，，，
等式两边分别相加，得
，
所以.
当时，也符合上式，故.
（2）因为
，
所以
.
4．（2023春·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试）已知数列{}满足
(1)求数列{}的通项公式；
(2)设，数列{}的前n项和为Tn，若，求m.
【答案】(1)
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(2)
【分析】（1）由前项和与通项的关系，当时，得，两式作差得,再验证首项是否满足上式；
（2）将代入得，裂项相消法可得，再解方程得.
【详解】（1）因为①，
则当时，则，
当时，得②，
则①②得，则，又满足上式，
所以数列{}的通项公式为
（2）
所以
化简得：
，解得.
5．（2022秋·江苏南京·高三校考期末）已知等差数列和等比数列满足，.
(1)求数列，通项公式
(2)设数列中满足，求和
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据条件利用等差等比数列的通项公式列方程可得公差，公比，进而可得通项公式；
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（2）由（1）得数列的通项公式，然后利用分组分解法可求和.
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
则，解得，
，
，解得，
，
即，；
（2）由（1）得，
.
6．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）已知数列的各项均为正数，其前n项和满足，n∈N*．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)若对任意n∈N*恒成立，求a1．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据与的关系，利用相减法结合，可得，即可证明；
（2）由，令，可得等比数列的公比，则前n项和，，根据不等式对任意恒成立，结合数列的单调性，则可列不等式求得的值.
【详解】（1）证明：因为，，所以①，
当时，②，则①-②得：，因为，
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所以，整理得：，即，所以数列是等比数列；
（2）解：由于，则当时，，整理得，
所以等比数列的公比，
则，，
若，因为，则，所以对任意恒成立，
又数列单调递增，所以，即，
则，所以，即.
7．（2023秋·江苏·高三统考期末）已知数列满足.
(1)判断数列是否是等比数列，并求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）由已知可得，可知该数列不是等比数列，利用递推关系即可求出；
（2）利用裂项相消法即可求和.
【详解】（1），故数列不是等比数列.
∵，
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∴
同理

，