人教版 专题28 三角函数与解三角形大题综合 （新高考通用）解析版.docx

试卷第1页，共32页
【冲刺985/211名校之2023届新高考题型模拟训练】
专题28 三角函数与解三角形大题综合 （新高考通用）
1．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）在平面四边形中，.
(1)求的长；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）直接利用余弦定理求解即可；
（2）弦有三角形为锐角三角形求出角的范围，在中，利用正弦定理将用角表示出来，再结合三角函数的性质即可得解.
【详解】（1）在中，，
由余弦定理可得，
即，解得或；
（2）因为，所以，
因为为锐角三角形，
所以，解得，
在中，因为，
所以，
试卷第1页，共32页
由，得，所以，
所以.
2．（2021春·广东深圳·高三深圳市南头中学校考阶段练****在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，．
(1)求角B的大小．
(2)若△ABC为锐角三角形，．求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理求得正确答案.
（2）利用正弦定理转化，结合三角函数值域的求法求得正确答案.
【详解】（1）依题意，，
由正弦定理得，
所以为锐角，所以.
（2）由正弦定理得，
所以
，
由于三角形是锐角三角形，
所以，解得，
所以，所以，
所以，
即的取值范围是.
试卷第1页，共32页
3．（2023·广东·高三校联考阶段练****已知的角，，的对边分别为，，，且，
(1)求角；
(2)若平分交线段于点，且，，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先利用余弦定理得，再利用正弦定理边化角得，再利用余弦定理即可；
（2）利用，结合面积公式即可得到，作于，利用面积比得到，则解出的值，再利用余弦定理求出，则得到周长.
【详解】（1）由余弦定理得，
所以，
可化为，
再由正弦定理得，得，
所以，因为，所以
（2）因为平分，所以，
由，
得，
作于，
则，
由，解得，
试卷第1页，共32页
由余弦定理，得，所以，
故的周长为.
4．（2023春·广东·高三校联考阶段练****在①，②，③向量，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
在中，内角、、的对边分别为、、，且__________．
(1)求角的大小；
(2)是线段上的点，且，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选条件①，利用三角恒等变换化简可得的值，结合角的取值范围可得角的值；
选条件②，利用正弦定理和余弦定理可求得的值，结合角的取值范围可得角的值；
选条件③，分析可得，利用平面向量数量积的坐标运算、正弦定理以及三角恒等变换可求得的值，结合角的取值范围可得角的值；
（2）设，可得出，，，，在中，由正弦定理可求得的值，利用二倍角的正弦公式结合弦化切可求得的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积.
【详解】（1）解：选条件①，因为，
故，
所以，，
即，
、，所以，，则，故，
因此，.
选②，因为，由正弦定理可得，
试卷第1页，共32页
由余弦定理可得，
，则；
选③，因为，，，
所以，，
由正弦定理可得，
即，
、，则，所以，，因此，.
（2）解：设，因为，则，
因为，所以，，，，
在中，由正弦定理可知，即，
即，化简可得，即，
所以，，
所以，.
5．（2023秋·江苏·高三统考期末）在中，，，为内的一点，满足，.
(1)若，求的面积；
(2)若，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先求出，再在中求出，利用正弦定理求出，最后由面积公式计算可得；
（2）在中利用余弦定理求出，令，则，表示出，，再由正弦定理求出，即可得解.
试卷第1页，共32页
【详解】（1）解：在中，因为，且，所以.
由，可得.
又，则.
在中，因为，，所以，
则，解得，
从而.
（2）解：在中，由，
解得或（舍去）.令，则在中.
在中，，所以，
则，即，得.
因为，所以，
从而.
6．（2023春·江苏常州·高三校联考开学考试）已知锐角的内角的对边分别为边上的高为1，且.
(1)求证：；
(2)求的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理将化简，利用同角三角函数基本关系可证明等式成立；
（2）由题意可知，，利用余弦定理和基本不等式求出的最小值，进而可求的最小值.
【详解】（1）证明：
，
试卷第1页，共32页
.
（2）由题