人教版专题24 导数的综合问题 多选题（新高考通用）解析版.docx

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【冲刺985/211名校之2023届新高考题型模拟训练】
专题24 导数的综合问题多选题（新高考通用）
1．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练****已知函数及其导函数的定义城均为，记，若关于直线对称，为奇函数，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据已知条件和导数的运算性质，以及函数的对称行与周期逐项进行检验即可求解.
【详解】因为关于直线对称，所以，
则，令，得，故选项A正确；
由可得到，所以，
则，则函数的图象关于点对称，令，
则，故选项B错误；
又因为为奇函数，所以，即，
所以函数的图象关于点对称，所以，故选项D正确；
由得，又，所以，所以函数的周期为，
所以，故选项D正确；
故选：ACD.
2．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知函数，，则下列说法正确的是（    ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．方程有唯一实根
【答案】AC
【分析】根据导数的运算法则，复合函数求导，基本初等函数的导数判断ABC，由数形结合判断D.
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【详解】，故，故A正确；
因为，所以，故B错误；
因为，故C正确；
，即，作出与图象，如图
由图象可知，与图象有两个不同的交点，故方程有两个实根，故D错误.
故选：AC
3．（2023春·浙江·高三校联考开学考试）设定义在上的函数与的导函数分别为和．若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（    ）
A．函数的图象关于点对称 B．
C． D．
【答案】BC
【分析】由得，结合得，即可令求得.
对A，由可判断其对称性；
对C，由为奇函数可得的周期、对称性及特殊值，从而化简；
对BD，由，结合C即可判断.
【详解】对A，∵，则，则，
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又，所以，令，可得，即.
所以，所以函数的图象关于对称，A错；
对C，∵为奇函数，则图像关于对称，且，
∴，，，，∴.
又，∴，∴的周期，
∴，C对；
对B，，则是周期的函数，，B对；
对D，，D错.
故选：BC.
4．（2023·山东济宁·统考一模）已知函数及其导函数的定义域均为R，若为奇函数，的图象关于y轴对称，则下列结论中一定正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根据为奇函数可得，根据的图象关于y轴对称可得，两个等式两边同时取导数，可得、，对x赋值，结合选项即可求解.
【详解】因为为奇函数，定义域为R，所以，
故，
等式两边同时取导数，得，即①，
因为的图象关于y轴对称，则，故
，
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等式两边同时取导数，得②.
由，令，得，解得，
由，令，得，
由②，令，得，
令，得，解得，
故选：ABD.
5．（2023·广东·高三校联考阶段练****已知函数，则下列结论正确的是（    ）
A．函数只有两个极值点
B．方程有且只有两个实根，则的取值范围为
C．方程共有4个根
D．若，，则的最大值为2
【答案】ACD
【分析】对函数求导，利用导数研究函数的极值判断；分析函数的性质，借助图象判断；结合图象和函数的零点判断；由结合取最大值的x值区间判断D作答.
【详解】对于，对求导得：，当或时，，当时，，即函数在，上单调递减，在上单调递增，因此，函数在处取得极小值，在处取得极大值，故选项正确；
对于，由选项知，作出曲线及直线，如图，要使方程有且只有两个实根，观察图象得当时，直线与曲线有2个交点，
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所以方程有且只有两个实根，则的取值范围为，故选项错误；
对于，由得：，解得，
令，则，结合图象方程有两解，，，所以或，
因为，所以，所以方程有两解；
又因为，结合图象可知：也有两解，
综上：方程共有4个根，故选项正确；
对于，因为，而函数在上单调递减，
因此当时，，当且仅当，
所以t的最大值为2，故选项正确.
故选：CD
【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察
与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.
6．（2023秋·广东揭阳·高三统考期末）已知函数，且存在唯一的整数，使得，则实数a的可能取值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】将不等式转化为，分别作出与的图象，转动直线使得满足的整数解是唯一的，观察直线的斜率满足的条件即可.
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【详解】令，得.
令，则，
当时，