人教版专题31 圆锥曲线大题综合 （新高考通用）解析版.docx

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【冲刺985/211名校之2023届新高考题型模拟训练】
专题31 圆锥曲线大题综合 （新高考通用）
1．（2023春·江苏扬州·高三统考开学考试）已知为抛物线的弦，点在抛物线的准线上.当过抛物线焦点且长度为时，中点到轴的距离为.
(1)求抛物线的方程；
(2)若为直角，求证：直线过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用抛物线弦长公式，以及中点到轴的距离公式，计算出即可；
（2）先设，直线的方程：，联立方程组，由韦达定理可得，
又因为为直角可得，化简求解可得，所以得出直线过定点.
【详解】（1）设，则由题意得，
解得，
所以抛物线的方程为
（2）直线过定点，证明如下：
设，直线的方程：，
将代入得，
则，得，
由韦达定理可得，
所以，
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因为，所以，即，
即，
即，所以，
所以直线过定点.
2．（2023·江苏泰州·统考一模）已知双曲线的左顶点为，过左焦点的直线与交于两点.当轴时，，的面积为3.
(1)求的方程；
(2)证明：以为直径的圆经过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，可得，，进而求解；
（2）设方程为，，联立直线和双曲线方程组，可得，以为直径的圆的方程为，由对称性知以为直径的圆必过轴上的定点，进而得到，进而求解.
【详解】（1）当轴时，两点的横坐标均为，
代入双曲线方程，可得，，即，
由题意，可得，解得，，，
双曲线的方程为：；
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（2）方法一：设方程为，，
以为直径的圆的方程为，
由对称性知以为直径的圆必过轴上的定点，令，可得
，
而，
，
对恒成立，，
以为直径的圆经过定点；
方法二：设方程为，
由对称性知以为直径的圆必过轴上的定点.
设以为直径的圆过，
，
而
，
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，
，即对恒成立，
，即以为直径的圆经过定点.
3．（2023秋·浙江绍兴·高三期末）在平面直角坐标系中，已知点，直线PA与直线PB的斜率之积为，记动点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)若直线与曲线C交于M，N两点，直线MA，NB与y轴分别交于E，F两点，若，求证：直线l过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设P点坐标为，由可得结果；
（2）设，联立，得和，再求出的坐标，根据得，从而可得结果.
【详解】（1）设P点坐标为，则，即，
所以曲线C的方程为.
（2）设，由，消去并整理得，
由，得,
所以．
，，
因为，所以，即，
，
，
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所以，
所以对任意都成立，
，故直线l过定点．
4．（2023秋·浙江·高三期末）已知点是双曲线上一点，B与A关于原点对称，F是右焦点，．
(1)求双曲线的方程；
(2)已知圆心在y轴上的圆C经过点，与双曲线的右支交于点M，N，且直线经过F，求圆C的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知条件列方程求出，即可求出双曲线的方程；
（2）讨论直线的斜率不存在时不满足题意；当斜率存在时设直线的方程为，联立双曲线的方程，由韦达定理求出的中点Q的坐标以及的坐标，根据勾股定理有，代入解方程即可得出答案.
【详解】（1）由已知条件得：
双曲线方程为：．
（2）若直线的斜率不存在，则圆C的圆心不在y轴上，因此不成立．
设直线的方程为，
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由消元得：
∴的中点Q的坐标为．
设，直线，得，
又，
根据勾股定理有
∴．
化简得
解得或（舍）
∴，∴圆C的方程为．
5．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练****已知抛物线的焦点为F，点F关于直线的对称点恰好在y轴上．
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)直线与抛物线E交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，若，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
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【分析】(1) 由题意得，设F关于直线的对称点为，根据题意列出方程组，解之即可求解；
(2)将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式，并求得线段AB的垂直平分线方程为，进而得到，利用函数的单调性即可求解.
【详解】（1）由题意得，设F关于直线的对称点为，则，解得，
∴抛物线E的标准方程为．
（2）由可得，设，，则，，
∴，
，∴线段AB的中点坐标为，则线段AB的垂直平分线方程为，令，得，故，
又，得．
∴，令，
则，，∴