人教专题7.5 数列的综合应用 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）解析版.docx

专题7.5 数列的综合应用
新课程考试要求
1.理解等差数列、等比数列的概念，掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和公式及其应用.
2.了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.
3.会用数列的等差关系或等比关系解决实际问题.
核心素养
本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理、数学运算、数学抽象、数学建模等.
考向预测
1.根据数列的递推式或者通项公式确定基本量，选择合适的方法求和，进一步证明不等式
2.数列与函数、不等式相结合.
3.复****中注意:
（1）灵活选用数列求和公式的形式，关注应用公式的条件；
（2）熟悉分组求和法、裂项相消法及错位相减法；
（3)数列求和与不等式证明、不等式恒成立相结合求解参数的范围问题.
【知识清单】
知识点一．等差数列和等比数列比较
等差数列
等比数列
定义
＝常数
＝常数
通项公式
判定方法
(1)定义法；
(2)中项公式法：⇔为等差数列；
(3)通项公式法：(为常数,)⇔ 为等差数列；
(4)前n项和公式法：(为常数, )⇔ 为等差数列；
(5) 为等比数列，且，那么数列
(1)定义法
(2)中项公式法： ()⇔ 为等比数列
(3)通项公式法： (均是不为0的常数，)⇔为等比数列
(4) 为等差数列⇔(总有意义)为等比数列
(，且)为等差数列
性质
(1)若，，，，且，则
(2)
(3) ，…仍成等差数列
(1)若，，，，且，则
(2)
(3)等比数列依次每项和()，即 ，…仍成等比数列
前n项和
时，；当时，或.
知识点二．数列求和
1. 等差数列的前和的求和公式：.
2．等比数列前项和公式
一般地，设等比数列的前项和是，当时，或；当时，（错位相减法）.
3. 数列前项和
①重要公式：（1）
（2）
（3）
（4）
②等差数列中，；
③等比数列中，.
【考点分类剖析】
考点一 等差数列与等比数列的综合问题
【典例1】（2021·全国高三月考（文））已知是等差数列，，，且，，是等比数列的前3项.
（1）求数列，的通项公式；
（2）数列是由数列的项删去数列的项后仍按照原来的顺序构成的新数列，求数列的前20项的和.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
（1）根据以及等差数列的通项公式计算即可得到结果，然后根据可得，最后简单计算可得.
（2）根据（1）的条件可知求解的是，计算即可.
【详解】
（1）数列是等差数列，设公差为，且，.
则，解得，
所以.
又因为，，是等比数列的前3项，则，
由于，代入上式解得.
于是，，，因此等比数列的公比.
故数列的通项公式为.
（2）设数列的前20项的和为.
因为，，
则
.
【典例2】（2021·全国高三其他模拟（文））已知数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，满足，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）利用等差数列的通项公式和求和公式，用首项和公差表示已知条件，化简后解方程组求得首项和公差，进而得到通项公式；
（2）由（1）可得通项公式，采用分组求和的方法，对的两个部分分别采用等比数列求和、等差数列的求和公式求和，进而得到.
【详解】
（1）设等差数列公差为，
①，
，，成等比数列得：,整理得：,
∵，∴②,
由①②解得：，，
（2）由（1）得：,由于为常数,∴数列为公比为的等比数列，
.
【总结提升】
等差数列、等比数列综合问题的解题策略
(1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序．
(2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的．
【变式探究】
1. （浙江省杭州市第二中学2020届高三）已知等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
设公比为.由，，成等差数列，可得，
所以，则，解(舍去)或.
所以.故选A.
2. （2017·全国高考真题（文））已知等差数列an的前n项和为Sn，等比数列bn的前n项和为Tn，且a1=1，b1=1，a2+b2=4.
（1）若a3+b3=7，求bn的通项公式；
（2）若T3=13，求S5.
【答案】（1）bn=2n−1；（