人教专题08 解三角形 题型归纳讲义-2022届数学一轮复习（解析版）.docx

专题八 《解三角形》讲义
知识梳理.解三角形
1．正弦定理
＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．
2．余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝c2＋a2－2cacos B；
c2＝a2＋b2－2abcos C.
3．三角形的面积公式　
(1)S△ABC＝aha(ha为边a上的高)；
(2)S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
题型一. 正弦定理
考点1.基本量运算
1．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=1，c=3，C=π3，则A＝　π6　．
【解答】解：由正弦定理得asinA=csinC∴sinA=asinCc=323=12
∴A=π6或5π6
∵a＜c
故答案为：π6
2．在△ABC中，cosA=513，sinB=35，a＝20，则b的值为　13　．
【解答】解：∵在△ABC中，cosA=513，∴sinA=1−cos2B=1213．
由正弦定理可得：asinA=bsinB，
∴b=asinBsinA=20×351213=13．
故答案为：13．
3．在△ABC中，b=32，cosA=63，B=A+π2．
（1）求a的值；
（2）求cos2C的值．
【解答】解：（1）∵cosA=63，0＜A＜π，∴sinA=33，
∴sinB＝sin（A+π2）＝cosA=63，
由正弦定理得：asinA=bsinB=3263=33，∴a＝3；
（2）∵B＝A+π2，∴π2＜B＜π，
又∵sinB=63，∴cosB=−33，
∴cosC＝﹣cos（A+B）＝﹣（cosAcosB﹣sinAsinB）＝sinAsinB﹣cosAcosB=223，
∴cos2C＝2cos2C﹣1=79．
考点2.边角互化
1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3(acosC−ccosA)=b，B=60°，则A的大小为　75°　．
【解答】解：∵3(acosC−ccosA)=b，B=60°，
∴由正弦定理可得：3（sinAcosC﹣sinCcosA）＝sinB，可得：3sin（A﹣C）＝sinB=32，
∴sin（A﹣C）=12，
∵A+C＝120°，
又∵0°＜A＜120°，0°＜C＜120°，可得：﹣120°＜A﹣C＜120°，
∴A﹣C＝30°，
∴解得：A＝75°．
故答案为：75°．
2．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，若2a＝3b，A＝2B，则cosB＝（　　）
A．23 B．34 C．45 D．0
【解答】解：∵2a＝3b，
∴根据正弦定理得2sinA＝3sinB，且A＝2B，
∴2sin2B＝4sinBcosB＝3sinB，且sinB≠0，
∴cosB=34．
故选：B．
3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsinA−3acosB＝2b−3c，则A＝（　　）
A．π3 B．π4 C．π6 D．2π3
【解答】解：∵bsinA−3acosB＝2b−3c，
∴由正弦定理可得：sinBsinA−3sinAcosB＝2sinB−3sinC，
∴sinBsinA−3sinAcosB＝2sinB−3sinC＝2sinB−3（sinAcosB+cosAsinB），
∴sinBsinA＝2sinB−3cosAsinB，
又∵sinB≠0，
∴sinA+3cosA＝2，
∴2sin（A+π3）＝2，可得A+π3=π2+2kπ，k∈Z，
又A∈（0，π），
∴A=π6．
故选：C．
考点3.内角和应用
1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC﹣cosC）＝0，a＝2，c=2，则C＝（　　）
A．π12 B．π6 C．π4 D．π3
【解答】解：sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，
∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）＝0，
∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC＝0，
∴cosAsinC+sinAsinC＝0，
∵sinC≠0，
∴cosA＝﹣sinA，
∴tanA＝﹣1，
∵π2＜A＜π，
∴A=3π4，
由正弦定理可得csinC=asinA，
∴sinC=csinAa，
∵a＝2，c=2，
∴sinC=csinAa=2×222=12，
∵a＞c，
∴C=π6，
故选：B．
2．已知a、b