人教专题14计数原理 14.1排列组合 题型归纳讲义-2022届数学一轮复习（解析版）.docx

专题十四 《计数原理》讲义
14.1 排列组合
知识梳理.排列组合
1. 两种计数原理：
(1) 分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．
(2) 分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．
2. 排列组合
（1）排列、组合的定义
①排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
②组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
（2）排列数、组合数的定义、公式、性质
排列数
组合数
定义
从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同排列的个数
从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同组合的个数
公式
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝
C＝＝
性质
A＝n！，0！＝1
C＝1，C＝C，C＋C＝C
3.求解排列应用问题的6种主要方法
直接法
把符合条件的排列数直接列式计算
优先法
优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中
定序问题除法处理
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
间接法
正难则反、等价转化的方法
题型一. 两种计数原理
1．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”（如2013是“六合数”），则“六合数”中首位为2的“六合数”共有（　　）
A．18个 B．15个 C．12个 D．9个
【解答】解：设满足题意的“六合数”为2abc，则a+b+c＝4，于是满足条件的a，b，c可分以下四种情形：
（1）一个为4，两个为0，共有3种；
（2）一个为3，一个为1，一个为0，共有A33=6种；
（3）两个为2，一个为0，共有3种；
（4）一个为2，两个为1，共有3种．
则“六合数”中首位为2的“六合数”共有15种．
故选：B．
2．五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有　96　．
【解答】解：根据题意，甲工程队不能承建1号子项目，则有4种方法，
其他4个工程队分别对应4个子项目，有A44种情况，
根据乘法原理，分析可得有C41A44＝96种情况；
故答案为：96．
3．在编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子中放入两个不同的小球，每个盒子中最多放入一个小球，且不能在两个编号连续的盒子中同时放入小球，则不同的放小球的方法有　20　种．
【解答】解：设两个不同的小球为A、B，当A放入1号盒或者6号盒时，B有4种不同的放法；
当A放入2，3，4，5号盒时，B有3种不同的放法，
一共有4×2+3×4＝20种不同的放法．
故答案为：20．
4．如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法（　　）
A．72种 B．48种 C．24种 D．12种
【解答】解：根据题意，首先涂A有C41＝4种涂法，则涂B有C31＝3种涂法，
C与A、B相邻，则C有C21＝2种涂法，
D只与C相邻，则D有C31＝3种涂法．
所以，共有4×3×2×3＝72种涂法，
故选：A．
5．（2018•新课标Ⅰ）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有　16　种．（用数字填写答案）
【解答】解：方法一：直接法，1女2男，有C21C42＝12，2女1男，有C22C41＝4
根据分类计数原理可得，共有12+4＝16种，
方法二，间接法：C63﹣C43＝20﹣4＝16种，
故答案为：16
6．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（　　）
A．484 B．472 C．252 D．232
【解答】解：根据题意，不考虑限制条件，从16张卡片中任取3张有C163种情况，
其中如果取出的3张为同一种颜色，有4C43种情况，
如果取出的3张有2张红色的卡片，有C42C121种情况，
则满足条件的取法有C163﹣4C43﹣C42C121＝560﹣16﹣72＝472种；
故选：B．