人教高中数学微专题13 导数解答题之双变量问题（解析版）.docx

微专题13 导数解答题之双变量问题
【秒杀总结】
1、破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果；
四是主元法.
【典型例题】
例1．（2023·上海·高三专题练****已知函数，其中为自然对数的底数，约为.
(1)求函数的极小值；
(2)若实数满足且，证明：.
【解析】（1）由题意可知，.
令，则，解得，
当时，，
当时，，
所以在上递减，在上递增.
所以当时，函数取得极小值为.
（2）若，则显然成立；
若，令，因为.
当时，单调递增；当时，单调递减；
，
令，
则
.
令，
则.
令，则，
所以，即，
所以在时递增，从而，即，
所以在时递减，所以，
从而，
所以，
所以，即.
例2．（2023·上海·高三专题练****已知函数.
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)当，求函数的最大值；
(3)若函数在定义域内有两个不相等的零点，证明：.
【解析】（1）当时，，
，，切线方程为：.
（2），
①当时，，在[1，2]单调递减，
②当时，
在单调递增，
③当时，，
（i）当即时，
在单调递减，上递增
（ii）当即时，
在单调递减，，
综上：.
（3）证明：要证，
只需证，
只需证，
因为，，
两式相减得：.
整理得.
所以只需证，
即证，
即，不妨设，令，
只需证，
只需证，
设，
只需证当时，即可.
，
在单调递减，
当时，，
在单调递增，当时，
原不等式得证.
例3．（2023·吉林长春·高三长春市第二中学校考期末）已知函数．
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)当时，恒成立，求的取值范围；
(3)证明：当时，．
【解析】（1）当时, ,
,故，
所以在处的切线方程为，即.
（2）由题意得，
由当时，恒成立，而，即时函数取得最小值，
由于 ，，
故，
当时，，等号仅会在时取得，则，
此时当时，递增，且；
下面证明只有时，当时，恒成立.
因为，所以，
只需证明恒成立；
设，
令，仅在时取得等号，
故单调递增，则，
故单调递增，
所以，即此时当时，恒成立.
当时，，
则，令，
则，在上为增函数，
且，，
故存在使得，
则时，，则递减，
且，
即在上递减，
而，则当时，，与题设矛盾，
故当时，不合题意，
综合上述可知：.
（3）当时，令 ，则，即 ，
故要证明当时，，
只需证明：，
令 ，则，
故需证明：，
令 ，则需证：恒成立，
由（2）知恒成立，即恒成立，
故当时，.
例4．（2023·广西柳州·统考模拟预测）已知，记的导函数为．
(1)讨论的单调性；
(2)若有三个零点，且，证明：．
【解析】（1）由题意知：定义域为，，
即，；
令，则；
①当，即时，恒成立，即恒成立，
在上单调递增；
②当，即或时，令，解得：；
当时，，在上恒成立，即恒成立，
在上单调递增；
当时，，
当时，，即；当时，，即；
在上单调递增，，在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，，在上单调递减.
（2）若有三个零点，则由（1）知：，
又，，
，，；
，，
又，；
要证，只需证，即证；
由得：，即，
即证，又，只需证；
令，则，
在上单调递增，，
即当时，恒成立，
，，则原不等式得证.
例5．（2023·浙江·高三校联考期末）已知函数．
(1)若，求的值；
(2)证明：．
【解析】（1）设，则，
，令，可得，
令，其中，则，
令，其中，则，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，.
①当时，，则且不恒为零，
所以，函数在上单调递减，
所以，当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以，，即；
②当时，，则，
所以，函数在上单调递减，
因为，，
此时，存在，使得，且当，，单调递减，
所以，，不合乎题意；
③当时，，
因为，，
由于函数在上单调递减，故存在，使得当时，，
此时，，则函数在上单调递增，
故当时，，单调递增，
所以，，不合乎题意.
综上所述，若，.
（2）证明：设，则，
，令，可得.
当时，设，
则，
设，则，
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函