人教高中数学微专题14 导数解答题之函数型数列不等式问题（解析版）.docx

微专题14 导数解答题之函数型数列不等式问题
【秒杀总结】
1、分析通项法：由于左边是一个求和(积)形式的表达式，右边是一个简单的式子，为了使得两者能够明显地显现出大小特征，有必要将两者统一成同一种形式，此处有两条路可走，一种是将左边的和式收拢，一种是将右边的式子分解.很明显，左边是无法收找的，因此需要将右边进行拆分，而拆分的原则就是和左边配对.假设右边，这样一来，相当于已知一个数列的前项之和，求，利用数列的知识可知.所以，接下来只需要证明即可.
2、几种常见的数列放缩方法：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）
；
（10）
；
（11）
；
（12）；
（13）.
3、根据不等式的信息，利用题目的结论，得出不等式，然后对变量取合适的数据，再用数列求和法而得解.
【典型例题】
例1．（2023·山东济南·高三统考期中）已知函数.
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)证明：对任意；
(3)讨论函数零点的个数.
【解析】（1）求导可得：，
若，对任意的，，为减函数，
所以，
若，考查函数，
当，即时，，
此时在上为减函数，
有，
当，即时，令可得：
，，
所以当时，，为增函数，
所以，不符题意，
综上可得：的取值范围为；
（2）由（1）知当时，成立，
即时，恒有，
即当时成立，
取（），
有，
即，，
将上述几个不等式相加可得：
，
整理可得，
即成立；
（3）由（），
当时，，为减函数，
又，
，
此时在上有一个零点，
当时，令，可得或（舍），
此时有一个零点，
当时，考查函数，
若，即时，，
所以为减函数，由，
，
此时有一个零点，
若，时，有两解，
，，
此时在上为减函数，在上为增函数，
由，
令，
，
所以在上为增函数，又，
所以，
所以极小值
极大值，
由
取，，
令，
，令，则，
由所以，所以为减函数，
所以，所以为减函数，
所以，
所以，
可得，
此时有三个零点，
综上可得：时有一个零点，时有三个零点.
例2．（2023·全国·高三专题练****已知函数．
(1)证明：对恒成立；
(2)是否存在，使得成立？请说明理由．
【解析】（1）证明：由，得，
令，得，
令，得，
，且当且仅当，
所以在上单调递增，故，且当且仅当，
所以在上也单调递增，故，且当且仅当，
所以在上仍单调递增，故；
（2）对于右侧：由（1）可知，当时，，即，
故，
所以
，
所以该侧不等号始终成立；
对于左侧：由（1）可知当时，．
设，，则．
在上有，所以在上单调递增，故当时，．
此时，
令，
可知，
所以当时，
，
令，注意到，所以可得到一个充分条件，
即，
所以任取，则该侧不等式成立，（表示整数部分），
因此，对于任意，原不等式都成立．即所求的n是存在的．
例3．（2023·全国·高三专题练****已知函数．
(1)当时，求证：；
(2)求证：．
【解析】（1）证明：要证，
即证，
即证，令，即证，
令，
当时，即时，
由，可得，因为，，
在上恒成立，
所以在上单调递减，则当时，，
所以；
（2）证明：由（1）知，当时，，令，
则，
即，
所以，
……．
，
以上各式相加，得，
则，而，
即.
例4．（2023·广东广州·高三广州市第七中学校考阶段练****已知函数．
(1)当时，，求的取值范围；
(2)是否存在，使得？说明理由．
【解析】（1）由，得．
令，得．
令，得．
（ⅰ）当时，，且当且仅当，
所以在单调递增，故，且当且仅当．
所以在也单调递增，故，且当且仅当．
所以在仍单调递增，故；
（ⅱ）当时，注意到在单调递增，且，，
所以存在唯一，使得，且在有．
所以在单调递减，故在有．
所以在也单调递减，故在有
所以在仍单调递减，故，不恒成立；
（ⅲ）当时，由（ⅰ）可知当就有，不恒成立；
（ⅳ）当时，由（ⅰ）可知．
综合上述讨论，的取值范围为；
（2）对于右侧：由（1）可知
，由
所以右侧不等号始终成立；
对于左侧：由（1）可知当时，．
设，则．
在有，所以在单调递增，故当时，．此时
．
令，可知
．
所以当，时，
令，注意到，所以可得到一个充分条件
．
所以任取，，则该侧不等式成立．
因此，对于任意，，原不等式都成立．即所求的是存在的.
例5．（2023·上海·