人教高中数学微专题21 圆锥曲线经典难题之一类探索性问题的通性通法研究（解析版）.docx

微专题21 圆锥曲线经典难题之一类探索性问题的通性通法研究
【秒杀总结】
1、基本思路
（1）探索性问题，一般先对结论作肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证.
（2）若导出矛盾，则否定先前假设（否定型）；若推出合理的结论，则说明假设正确（肯定型），由此得出问题的结论.
（3）“假设一推证一定论”是解答此类问题的三个步骤.
2、技巧总结
（1）解决是否存在常数的问题时，应首先假设存在，看是否能求出符合条件的参数值，如果推出矛盾就不存在，否则就存在.
（2）解决是否存在点的问题时，可依据条件，直接探究其结果；也可以举特例，然后再证明.
（3）解决是否存在直线的问题时，可依据条件寻找适合条件的直线方程，联立方程消元得出一元二次方程，利用判别式得出是否有解（存在）.
（4）解决是否存在最值问题时，可依据条件，得出函数解析式，依据解析式判定其最值是否存在，然后得出结论.
【典型例题】
例1．（2023·全国·高三专题练****已知直线l1是抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线，直线l2：，且l2与抛物线C没有公共点，动点P在抛物线C上，点P到直线l1和l2的距离之和的最小值等于2．
(1)求抛物线C的方程；
(2)点M在直线l1上运动，过点M作抛物线C的两条切线，切点分别为P1，P2，在平面内是否存在定点N，使得MN⊥P1P2恒成立？若存在，请求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）作PA，PB分别垂直l1和l2，垂足为A，B，抛物线C的焦点为，
由抛物线定义知|PA|＝|PF|，所以d1+d2＝|PA|+|PB|＝|PF|+|PB|，
显见d1+d2的最小值即为点F到直线l2的距离，
故，解之得或（舍）
所以抛物线C的方程为x2＝4y．
（2）由（1）知直线l1的方程为，当点M在特殊位置时，
显见两个切点P1，P2关于y轴对称，故要使得MN⊥P1P2，点N必须在y轴上．
故设M，N，，，
抛物线C的方程为，求导得，所以切线MP1的斜率，
直线MP1的方程为，又点M在直线MP1上，
所以，整理得，
同理可得，
故x1和x2是一元二次方程x2﹣2mx﹣4＝0的根，
由韦达定理得，
，
可见n＝1时，恒成立，
所以存在定点N，使得MN⊥P1P2恒成立．
例2．（2023·全国·高三专题练****设椭圆E的方程为（a＞1），点O为坐标原点，点A，B的坐标分别为，，点M在线段AB上，满足，直线OM的斜率为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若斜率为k的直线l交椭圆E于C，D两点，交y轴于点（t≠1），问是否存在实数t使得以CD为直径的圆恒过点B？若存在，求t的值，若不存在，说出理由．
【解析】（1）设点M的坐标，点M在线段AB上，满足，
∴，，
故，，因为，
∴，解得：a＝2，
∴椭圆E的方程；
（2）设直线l方程：，代入，
得，
设，则，，
假设存在实数t使得以CD为直径的圆恒过点B，则．
∴，
，
即，
得，
整理得，
∵，
∴，
故当时，符合题意．
例3．（2023·全国·高三专题练****已知双曲线的左焦点坐标为，直线与双曲线交于两点，线段中点为.
(1)求双曲线的方程；
(2)经过点与轴不重合的直线与双曲线交于两个不同点，点，直线与双曲线分别交于另一点.
①若直线与直线的斜率都存在，并分别设为.是否存在实常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
②证明：直线恒过定点.
【解析】（1）由题意知，直线的斜率为，设，
由题意，两式相减得：，
整理得：，即，
又，所以，即双曲线，
经检验满足题意.
（2）①因为的斜率存在且，设，，
联立，消去整理得：，
由题意得，解得
又，设直线，
联立，整理得，
由韦达定理得，
又，，
于是，
故，同理可得，
，，
为定值，所以的值
②由①知（*），
由对称性知过的定点在轴上，在（*）
令，得，
解得
直线恒过定点
例4．（2023·上海·高三专题练****已知椭圆是左、右焦点．设M是直线l：上的一个动点，连结，交椭圆Γ于N（）．直线l与x轴的交点为P，且M不与P重合．
(1)若M的坐标为，求四边形的面积；
(2)若PN与椭圆Γ相切于N且，求的值；
(3)作N关于原点的对称点，是否存在直线，使得上的任一点到的距离为，若存在，求出直线的方程和N的坐标，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由椭圆方程可得，∴，，，
∴直线为，联立，整理可得：，
解得或，由，可得，∴，
∴；
（2）由于直线PN的斜率必存在，则设直