人教高中数学重难点07五种数列求和方法（核心考点讲与练）(解析版）.docx

重难点07五种数列求和方法（核心考点讲与练）
能力拓展
题型一：等差等比公式法
一、单选题
1．（2022·山西·模拟预测（理））已知等比数列的首项为1，若成等差数列，则的前6项的和为（       ）
A．31 B． C． D．63
【答案】C
【分析】设数列的公比为，根据题意求出公比，再根据等比数列前项和的公式即可得解.
【详解】解：设数列的公比为，
因为成等差数列，
所以，得，
即，解得，
故前6项的和为.
故选：C.
2．（2022·福建泉州·模拟预测）记等比数列{}的前n项和为.若，则=（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据条件得到，，从而求出公比，利用求和公式求出答案.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
所以公比，
所以
故选：C
3．（2022·山东菏泽·二模）已知数列中，，且对任意的m，，都有，则下列选项正确的是（       ）
A．的值随n的变化而变化 B．
C．若，则 D．为递增数列
【答案】D
【分析】令，得，故A不正确；再根据等差数列的通项公式和求和公式可判断BCD.
【详解】因为对任意的m，，都有，
所以令，得，故A不正确；
所以，
所以，所以B不正确；
若，则，故C不正确；
，所以为递增数列，故D正确.
故选：D.
4．（2022·重庆一中高三阶段练****已知等差数列（公差不为零）和等差数列的前n项和分别为，，如果关于x的实系数方程有实数解，那么以下2021个方程中，无实数解的方程最多有（       ）
A．1008个 B．1009个 C．1010个 D．1011个
【答案】C
【分析】设出两个等差数列的公差，由等差数列的性质得到，要想无实根，要满足，结合根的判别式与基本不等式得到和至多一个成立，同理可证：和至多一个成立，……，
和至多一个成立，且，从而得到结论..
【详解】由题意得：，
其中，，
代入上式得：，
要想方程无实数解，则，
显然第1011个方程有解，
设方程与方程的判别式分别为和，
则
，
等号成立的条件是a1=a2021.
所以和至多一个成立，同理可证：和至多一个成立，
……，和至多一个成立，且，
综上，在所给的2021个方程中，无实数根的方程最多1010个
故选：C
【点睛】对于数列综合题目，要综合所学，将不熟悉的问题转化为我们熟练的知识点进行解决，比如本题中要结合根的判别式，以及等差数列的性质，以及基本不等式进行求解，属于难题.
二、多选题
5．（2022·山东枣庄·三模）给出构造数列的一种方法：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．现自1，1起进行构造，第1次得到数列1，2，1，第2次得到数列1，3，2，3，1，…，第次得到数列，记，数列的前n项和为，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】通过计算求出的值，运用归纳法得到之间的关系，最后根据等比数列的定义和前n
项和公式进行求解判断即可.
【详解】由题意得：，
所以有，因此选项AB不正确；
，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，因此有，因此选项C正确；
，所以选项D正确，
故选：CD
【点睛】关键点睛：通过计算得到是解题的关键.
三、填空题
6．（2022·河南·模拟预测（文））设数列的前n项和为，已知，，则等于___________.
【答案】
【分析】根据数列通项公式的特征，采用分组求和方法即可求其前2n项的和．
【详解】∵，
∴的奇数项是以为首项，为公比的等比数列，
偶数项是以为首项，1为公差的等差数列，
∴
=．
故答案为：．
7．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）记为等差数列的前项和，若，，则=_______．
【答案】
【分析】先由求出首项和公差的关系，再由求和公式求比值即可.
【详解】是等差数列，设公差为，
又，，，
.
故答案为：.
8．（2022·陕西·模拟预测（理））已知等差数列公差，其前n项和为，若记数据的方差为，数据的方差为，则___________.
【答案】
【分析】先由题设得到与的关系式，再利用具有线性关系的变量之间的方差公式求得结果即可．
【详解】解：由题设可得：，
又数据，，，的方差为，数据，，，，的方差为，
即，，，，的方差为，
所以，
，
故答案为：4．
9．（2022·河北保定·二模）现有10个圆的圆心都在同一条直线上，从左到右它们的半径依次构成首项为1，公比为2的等比数列，从