微专题 利用导数研究不等式恒成立问题 学案——2023届高考数学一轮人教版.docx

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微专题： 利用导数研究不等式恒成立问题
【考点梳理】
　
【典例分析】
典例1．已知函数(为实数)
（1）若，求在的最值；
（2）若恒成立，求的取值范围.
典例2．已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）若对任意的都有成立，求c的取值范围.
典例3．已知函数，．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)当时，若对任意都有成立，求实数的取值范围．
典例4．已知函数．
（1）求证：在区间上，函数的图象恒在函数的图象的下方;
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（2）若存在，，使成立，求满足上述条件的最大整数m．
典例5．已知，.
（1）讨论单调性；
（2）当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围.
典例6．设函数．
（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的单调递减区间和极小值（其中为自然对数的底数）；
（2）若对任何恒成立，求的取值范围．
【双基达标】
7．已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若，且在上的最小值为0，求的取值范围.
8．已知函数（其中，为自然对数的底数）．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，，求的取值范围．
9．已知函数.
（1）若函数的图象上任意两个不同点的连线的斜率小于1，求证：.
（2）若，且函数的图象上任意一点处的切线的斜率为k，试证明当时，.
10．已知函数，.
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(1)讨论的单调性；
(2)若时，恒成立，求的取值范围.
11．函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若在恒成立，求实数m的取值范围.
12．已知函数，．
(1)若时，恒成立，求实数a的取值范围；
(2)求的最小值．
13．已知函数f（x）＝ax﹣1﹣lnx（a∈R）．
(1)讨论函数f（x）的定义域内的极值点的个数；
(2)若函数f（x）在x＝1处取得极值，∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，求实数b的最大值．
14．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
15．已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）当时，证明：.
【高分突破】
16．已知函数，，
（1）求函数的单调区间；
（2）若，，使成立，求m的取值范围.
（3）当时，若关于x的方程有两个实数根，，且，求实数k的取值范围，并且证明：.
17．已知函数.
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
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（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.
18．已知，其中.
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，，求的取值范围.
19．已知函数，.
（1）（ⅰ）证明： ；
（ⅱ）证明：.
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.
20．已知函数f(x)=ex，g(x)=2ax+1.
（1）若f(x)≥g(x)恒成立，求a的取值集合；
（2）若a>0，且方程f(x)-g(x)=0有两个不同的根x1，x2，证明：<ln 2a.
21．已知函数，．
（1）求函数的极大值；
（2）求证：；
（3）对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”．设函数，试探究函数与是否存在“分界线”？若存在，请加以证明，并求出，的值；若不存在，请说明理由．
22．已知函数．
(1)若函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求；
(2)当时，关于的不等式恒成立，求满足条件的示数的最大整数值．
23．已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
24．已知函数.
（1）证明：当时，；
（2）若，，证明：有且仅有一个零点.
25．已知函数(其中)，为的导数.
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(1)求函数在处的切线方程；
(2)若不等式恒成立，求的取值范围.
26．已知函数.
（Ⅰ）求证：当时，；
（Ⅱ）若，若对任意恒成立，求的取值范围.
27．函数.