预测卷02-人教版冲刺2023年高考数学大题突破+限时集训（解析版）.docx

预测卷02
（满分：70分 建议用时： 65 分钟）
17（10分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求B；
(2)设，若点M是边上一点，，且，求的面积．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）依题意，
由及正弦定理得，
即，
所以．因为，所以，所以，，所以．
（2）如图所示：
因为，所以，．
又，所以．
在中，由余弦定理得，
即．①
又，所以，
两边平方得，
即，所以．②
②－①得，所以，代入①得，
在中，，
所以是以为直角的三角形，
所以的面积为．
18（12分）记数列{}的前n项和为，对任意正整数n，有＝，且a2＝3.
(1)求数列{}的通项公式；
(2)对所有正整数m，若＜＜，则在和两项中插入，由此得到一个新数列{}，求{}的前40项和.
【答案】(1)(2)1809
【详解】（1）由，则，两式相减得：，
整理得：，即时，，
所以时， ，
又时，，得，也满足上式.
故.
（2）由.所以，
又，所以前40项中有34项来自.
故
.
19（12分）．如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．
(1)求A到平面的距离；
(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h，
则，
解得，所以点A到平面的距离为；
（2）取的中点E,连接AE,如图，因为，所以,
又平面平面，平面平面，
且平面，所以平面，
在直三棱柱中，平面，
由平面，平面可得，，
又平面且相交，所以平面，
所以两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，
由（1）得，所以，，所以，
则,所以的中点，
则，,
设平面的一个法向量，则，
可取，
设平面的一个法向量，则，
可取，
则，
所以二面角的正弦值为.
20（12分）．口袋中共有7个质地和大小均相同的小球，其中4个是黑球，现采用不放回抽取方式每次从口袋中随机抽取一个小球，直到将4个黑球全部取出时停止.
(1)记总的抽取次数为X，求E（X）；
(2)现对方案进行调整：将这7个球分装在甲乙两个口袋中，甲袋装3个小球，其中2个是黑球；乙袋装4个小球，其中2个是黑球.采用不放回抽取方式先从甲袋每次随机抽取一个小球，当甲袋的2个黑球被全部取出后再用同样方式在乙袋中进行抽取，直到将乙袋的2个黑球也全部取出后停止.记这种方案的总抽取次数为Y，求E（Y）并从实际意义解释E（Y）与（1）中的E（X）的大小关系.
【答案】(1)(2)6，答案见解析
【详解】（1）X可能取值为4，5，6，7，
，
；
（2）Y可能取值为4，5，6，7，设甲袋和乙袋抽取次数分别为和  ，
，
，
，
，
.
在将球分装时，甲袋中的黑球取完后直接取乙袋，若此时甲袋中还有其它球，则该球的干扰作用已经消失，所以同样是要取出4个黑球，调整后的方案总抽取次数的期望更低.
21（12分）．已知椭圆的右顶点为A，左焦点为F，过点F作斜率不为零的直线l交椭圆于两点，连接，分别交直线于两点，过点F且垂直于的直线交直线于点R．
(1)求证：点R为线段的中点；