人教高中数学微专题03 解三角形（解析版）.docx

微专题03 解三角形
【秒杀总结】
在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理．
【典型例题】
例1．（2023秋·山西太原·高三统考期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足．
(1)求证：；
(2)求的取值范围．
【解析】（1）由余弦定理得，
∵，
∴
∴
∴，
由正弦定理得，
∴，
∴，
∵，∴，∴，∴
（2）由（1）得，
∴，
∵，又，∴，∴，
函数在上单调递减，在上单调递增
，
∴，
∴的取值范围为．
例2．（2023·浙江·统考一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的取值范围．
【解析】（1）由正弦定理得，
又，所以，
因为，
所以，
因为，
所以，
因为，所以，故，
又，所以，
因为，所以．
（2）由（1）得，
所以由余弦定理得，
记，则，
因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，即，
故，则，
所以，即．
例3．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知，D为边AC上一点，，.
(1)若，，求；
(2)若直线BD平分，求与内切圆半径之比的取值范围.
【解析】（1）如图1，，，
所以，
因为，，
所以，
故，则，即，
又，则，故，
不妨记，，则，
因为，
所以，解得，则，
因为，所以，
所以.
（2）如图2，不妨设与内切圆的半径分别为与，
因为直线BD平分，
所以由角平分线性质定理得，记，则，
记，则，
因为，
所以，
因为，即，则，
所以，即，
因为（为顶点到的距离），
又，，
所以，则，
令，则，，
所以，
因为，所以，则，故，
所以，即，
所以，故，
所以与内切圆半径之比的取值范围为.
.
例4．（2023·全国·高三专题练****在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知．
(1)求角B的值；
(2)若，求的周长的取值范围．
【解析】（1），由正弦定理得：，
即，
由余弦定理得：，
因为，
所以；
（2）锐角中，，，
由正弦定理得：，
故，
则
，
因为锐角中，，
则，，
解得：，
故，，
则，
故，
所以三角形周长的取值范围是.
例5．（2023·全国·高三专题练****设锐角三角形ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知．
(1)求证：B＝2A；
(2)求的取值范围．
【解析】（1），
由正弦定理得：，
由积化和差公式可得：，
因为，
所以，
因为三角形ABC为锐角三角形，故，
所以，
故，即；
（2）由（1）知：，
由正弦定理得：
，
其中，
因为，
所以
，
由得：，
由，解得：，
结合可得：，，
故在上单调递增，
所以，
即.
例6．（2023·全国·高三校联考阶段练****中，，是边上的点，，且.
(1)若，求面积的取值范围；
(2)若，，平面内是否存在点，使得？若存在，求；若不存在，说明理由.
【解析】（1）由面积公式可得：
，
，
因为，故，
由可得即，
建立如图所示的平面直角坐标系，则 ，则，
则，整理得到：，
故的边上的高的范围为，故其面积的取值范围为：
（2）
因为，故，故，
故为直角三角形且
如图，设，则，故，
同理，
故，而，故，
在中，由余弦定理可得：，
整理得到：
所以，
整理得到：，解得或，
但为锐角，故，故
故存在且.
例7．（2023·全国·高三专题练****在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知______．
(1)求角A的大小；
(2)若为锐角三角形，且其面积为，点G为重心，点M为线段的中点，点N在线段上，且，线段与线段相交于点P，求的取值范围．
注：如果选择多个方案分别解答，按 第一个方案解答计分．
【解析】（1）若选①，
由正弦定理可得
即，又，所以，即，
因