微专题 数列求和—分组求和 学案——2023届高考数学一轮人教版.docx

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微专题：数学求和—分组求和
【考点梳理】
分组求和法就是对一类既不是(或不明显是)等差数列，也不是(或不明显是)等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，分为几个等差、等比数列或常见的数列，然后分别求和，最后将其合并的方法.
【典例剖析】
典例1．已知数列的前n项和为，且满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前n项和．
典例2．在数列中，，且对任意的，都有.
(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
典例3．在数列中，，
(1)设，求证：；
(2)求数列的通项公式；
(3)求数列的前项和.
典例4．已知为等差数列，为等比数列，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）记的前项和为，求证：；
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（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．
【双基达标】
5．已知公差不为零的等差数列的前项和为，，，，成等比数列，数列满足，.
(1)求数列和通项公式；
(2)求的值；
(3)证明
6．已知数列，，，是数列的前项和，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，且，，成等比数列.
（1）求数列和的通项公式.
（2）记，求数列的前项和.
（3）.
7．设是等差数列，是等比数列.已知.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足其中.
（i）求数列的通项公式；
（ii）求.
8．在正项数列中，，，.
（1）求数列与的通项公式；
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（2）求数列的前项和.
9．已知为等差数列，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数都不在下表的同一列．
第一列
第二列
第三列
第一行
第二行
4
6
9
第三行
12
8
7
请从①，②，③的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列存在；并在此存在的数列中，试解答下列两个问题．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前n项和；
（3）设数列的前n项和为，若不等式对任意的正整数n都成立，求实数的最小值．
10．设数列{an}的前n项和为Sn，且满足，{bn}是公差不为0的等差数列，b1＝1，b4是b2与b8的等比中项．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)对任意的正整数n，设，求数列{cn}的前2n项和T2n．
11．已知等差数列的公差为正数，，其前项和为，数列为等比数列，，且，.
（1）求数列与的通项公式；
（2）求数列的前项和.
（3）设，，求数列的前项和.
12．为了保障幼儿园儿童的人身安全，甲、乙两省计划若干时间内两省共新购1000辆校车．其中，甲省采取的新购方案是：本月新购校车10辆，以后每个月的新购量比上一个月增加50%；乙省采取的新购方案是：本月新购校车40辆，以后每个月比上一个月多新购辆．
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（1）求经过个月，两省新购校车的总数；
（2）若两省计划在3个月内完成新购目标，求的最小值．
13．已知数列的前项和满足.
（1）求；
（2）已知__________，求数列的前项和.
从下列三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，然后对第（2）问进行解答.
条件：①
②
③
注：如果选择多个条件分别解答，以第一个解答计分.
14．已知正项数列，其前项和为．
（1）求数列的通项公式：
（2）设，求数列的前项和．
15．已知数列的通项公式为，数列的首项为.
(1)若是公差为3的等差数列，求证：也是等差数列；
(2)若是公比为2的等比数列，求数列的前项和.
【高分突破】
16．已知等差数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)若，记的前项和为，求.
17．已知数列的前项和为，数列满足，，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，求证：.
18．已知数列是递增的等比数列，且.
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(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
19．设Sn为数列{an}的前n项和，且a1＝1，当n≥2时，(n－1)an＝(n＋1)Sn－1＋n(n－1)，n∈N*.
(1)证明：数列为等比数列；