人教版专题34 双空题综合问题（新高考通用）解析版.docx

试卷第1页，共36页
【冲刺985、211名校之2023届新高考题型模拟训练】
专题34 双空题综合问题（新高考通用）
1．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知数列满足，，设数列的前项和为，则数列的通项公式为______，______．
【答案】         
【分析】由题得，利用累乘法得，通过错位相减法求得，进而得出答案.
【详解】因为，且，所以，
则当时，
．
又当时，符合上式，
故．
由①
②
得．
令，③
∴，④
得
∴．
故，
试卷第1页，共36页
则，即．
故答案为：，.
2．（2023·湖南·模拟预测）已知箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，从该箱中有放回地依次取出3个小球，设变量为取出3个球中红球的个数，则的方差______________；3个小球颜色互不相同的概率是______________．
【答案】         
【分析】由题意分析的所有可能取值，分别求出对应的概率，根据公式求数学期望和方差即可，再由独立事件同时发生的概率及排列求概率即可.
【详解】由题可得，的所有可能取值分别为，
；
；
；
.
所以，
所以.
一次抽取抽到红球的概率为，抽到黑球的概率为，抽到白球的概率为，
所以3次抽取抽到3个小球颜色互不相同的概率是.
故答案为：；.
3．（2023·湖南邵阳·统考一模）已知圆与圆相交于两点，则公共弦所在的直线方程为______，______.
【答案】     ；     2
【分析】先求出公共弦方程，再利用几何法求弦长.
【详解】由圆与圆，可得公共弦所在的直线方程为：，即.
因为圆的圆心，半径为，
试卷第1页，共36页
所以圆心到直线的距离为1，所以.
故答案为：；2.
4．（2023·湖南·模拟预测）已知数列的各项都是正数，若数列各项单调递增，则首项的取值范围是__________当时，记，若，则整数__________．
【答案】         
【分析】根据正项数列各项单调递增，可得出，化简求出，由此可得首项的取值范围；再由裂项相消法求出的表达式，然后求其范围，即可得出答案.
【详解】由题意，正数数列是单调递增数列，且，
且，解得，
，
又由，
可得：．
，
．
，且数列是递增数列，，即，
整数．
故答案为：；.
试卷第1页，共36页
5．（2023·吉林·统考二模）意大利数学家傲波那契在研究兔子繁殖问题时发现了数列1，1，2，3，5，8，13，…，数列中的每一项被称为斐波那契数，记作Fn.已知，，（，且n>2）.
（1）若斐波那契数Fn除以4所得的余数按原顺序构成数列，则___________.
（2）若，则___________.
【答案】     2697     ##-1+a
【分析】（1）根据带余除法的性质，总结数列规律，可得答案；
（2）利用递推公式，结合裂项相消，可得答案.
【详解】（1）由题意，，则，，则，
由，则除以4的余数为，即，
由，则除以4的余数为，即，
由，则除以4的余数为，即，
由，则除以4的余数为，即，
由，则除以4的余数为，即，
由，则除以4的余数为，即，
故由斐波那契数除以4的余数按原顺序构成的数列，是以6为最小正周期的数列，因为，所以；
（2）由斐波那契数的递推关系可知：时，且，，
所以.
故答案为：2697，a -1
6．（2023·福建漳州·统考三模）已知椭圆的长轴长为，离心率为，为上的两个动点，且直线与斜率之积为（为坐标原点），则椭圆的短轴长为_______，_________.
【答案】         
【分析】根据椭圆长轴长、离心率可求得，由此可得短轴长及椭圆方程；设
试卷第1页，共36页
，，根据斜率关系，结合两角和差公式可整理得到，利用两点间距离公式，结合诱导公式和同角三角函数关系可求得结果.
【详解】椭圆的长轴长为，，又离心率，
，椭圆的短轴长为，椭圆；
设，，
，，
.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的几何性质，求解距离平方和的关键是能够通过三角换元的方式，结合斜率关系得到所满足的关系式，进而结合诱导公式来进行求解.
7．（2023·湖南永州·统考二模）对平面上两点，满足的点的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，命名为阿波罗尼斯圆，称点是此圆的一对阿波罗点.不在圆上的任意一点都可以与关于此圆的另一个点组成一对阿波罗点，且这一对阿波罗点与圆心在同一直线上，其中一点在圆内，另一点在圆外，系数只与阿波罗点相对于圆的位置有关.已知