人教高中数学微专题08 导数压轴小题（解析版）.docx

微专题08 导数压轴小题
【秒杀总结】
一、导数几何意义的应用主要抓住切点的三个特点：
①切点坐标满足原曲线方程；
②切点坐标满足切线方程；
③切点的横坐标代入导函数可得切线的斜率.
二、不等式恒成立问题常见方法：
① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；
② 数形结合( 图象在 上方即可)；
③ 讨论最值或恒成立；
④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.
三、根据导函数有关的不等式构造抽象函数求不等式解集问题，解答问题关键是能根据条件构造出合适的抽象函数.常见的构造方法：（1）若出现形式，可考虑构造；（2）若出现，可考虑构造；（3）若出现，可考虑构造；（4）若出现，可考虑构造.
四、函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：
1、构造函数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；
2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.
五、已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
六、对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.
【典型例题】
例1．（2023·重庆市朝阳中学高三月考）设，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
在上恒成立，即为在上恒成立，
令，，
若，则，可得在递增，
当时，，不等式在上不恒成立，故.
由，可得在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得最大值，
则，则.
令，，，
可得在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，则的最小值是.
故选：B.
【点睛】
关键点睛：解决本题主要利用导数研究恒成立问题，利用导数求极值，并要运用分类讨论的思想.
例2．（2023·广东·佛山一中高三月考）已知函数 ，在函数图象上任取两点，若直线的斜率的绝对值都不小于，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
，在单调递减， 设.设则在上单调递减，则
对恒成立，则对恒成立， 则，解之得或.又，所以.
【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，将题目中直线的斜率的绝对值都不小于的为题，转化为函数单调递减的问题来解决，属于难题.
例3．（2023•杭州模拟）已知函数在区间，上的最大值为，当实数，变化时，最小值为　　，当取到最小值时，　　．
【解析】解：，
上述函数可理解为当横坐标相同时，函数，，与函数，，图象上点的纵向距离，则即为函数与函数图象上点的纵向距离的最大值中的最小值，
由图象可知，当函数的图象刚好为时，取得最小值为2，此时，且，即，，
故．
故答案为：2，．
例4．（2023春•湖州期末）若存在正实数，使得不等式成立，则　　
A． B． C． D．
【解析】解：记，
当 时，；当 时，，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
．
记，
当 时，；当 时，，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以．
由题意，
又因为，所以，
故．
另解：正实数，，，
令，
当 时，；当 时，，
所以 在上单调递减， 上单调递增，
所以（1），于是，
于是，当且仅当 时不等式取等号，
又，当且仅当 时不等式取等号，
，
所以 且，解得，所以．
故选：．
例5．（2023·河北冀州中学高三期中（理））已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围是 _________.
【答案】
【解析】
,令，
则，
当时，；当时，，
在上单调递增，在单调递减，
的最大值为，
则，即实数的取值范围是 ，
故答案为,
例6．（2023·全国·高三课时练****设函数是的导数，