人教高中数学微专题17 圆锥曲线压轴小题（解析版）.docx

微专题17 圆锥曲线压轴小题
【秒杀总结】
1、求的离心率(或离心率的取值范围)，常见有以下方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
③几何法：寻找几何关系，将问题转化
④坐标法：一般套路将坐标代入曲线求解
2、解析几何中与动点有关的最值问题一般的求解思路：
①几何法：利用图形作出对应的线段，利用几何法求最值；
②代数法：把待求量的函数表示出来，利用函数求最值.
【典型例题】
例1．（2023·陕西西安·校考模拟预测），，，，，一束光线从点出发射到上的点，经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则的斜率的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设直线方程为，则，解得，即，即，
设关于直线对称的点为，则，解得，即，，
同理可得：
点关于直线的对称点为，
点关于直线的对称点为，
如图所示：
利用光线反射的性质可知，当这束光线反射后最终经过点时，则其先经过点；当这束光线反射后最终经过点时，则其先经过点；
所以点之间为点的变动范围，
因为，，所以直线，即直线斜率不存在，而，
所以，即.
故选：D
例2．（2023秋·内蒙古包头·高三统考期末）已知抛物线，斜率为的直线与的交点为E，F，与轴的交点为.若，，则（    ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【解析】设直线方程，，
，，
，
，
由得，，
，
，
，
，
由解得或，
或(舍)，
故选:C
例3．（2023春·全国·高三竞赛）设圆的圆心为，点，，为直线上一点．若圆上存在两点A，B，使得点满足，则面积的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意如图所示：
因为，
所以，
所以，
因为为圆上两点，且圆的圆心半径为，
所以，
所以，
因为为直线上一点，所以设，且
所以有，
解得：，
又，所以，
所以，
所以点到直线的距离为：
，
因为，所以，
又，
所以
所以，
面积的取值范围为：.
故选：A.
例4．（2023秋·广西南宁·高三南宁二中校考期末）已知双曲线的左，右焦点分别是，，点P是双曲线C右支上异于顶点的点，点H在直线上，且满足.若，则双曲线C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以PH是的角平分线，
又因为点H在直线上，且在双曲线中，点P是双曲线C右支上异于顶点的点，
设的内切圆与轴的切点为，
根据三角形内切圆的知识可知，则是双曲线的右顶点，
所以的内切圆圆心在直线，即点H是的内心，
如图，作出，并分别延长HP、、至点，使得
，可知H为的重心，
设，由重心性质可得，
即，
又H为的内心，所以，因为，
则，所以双曲线C的离心率.
故选：C
例5．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上，若离心率，则椭圆的离心率的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
由椭圆的定义得：，解得，
因为，所以，
两边同除以a得，解得 ，
因为 ，所以，
所以该离心率的取值范围是
故选：D.
例6．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知为抛物线：的焦点，过直线上任一点向抛物线引切线，切点分别为A，，若点在直线上的射影为，则的取值范围为______．
【答案】．
【解析】设，，，不妨设在轴上方，
时，，，所以切线的方程为，
代入得，又，∴，
得，同理可得．
因此直线的方程为，直线过定点，
，∴在以为直径的圆上，该圆圆心，半径为1，
由已知，，∴的最大值为，最小值为，
时，直线方程为，此时，与轴垂直，点与点重合，即，点不可能与点重合，最大值取不到．
所以的范围是．
故答案为：．
例7．（2023·全国·高三专题练****双曲线的左右焦点分别为，，以实轴为直径作圆，过圆上一点作圆的切线交双曲线的渐近线于，两点（在第一象限），若，与一条渐近线垂直，则双曲线离心率为______.
【答案】
【解析】
如图，为圆的切点，连接，，，故，，又，过作渐近线的垂线，交渐近线于点，则，又由渐近线的性质，可得，根据勾股定理，可得，又因为，得到，得到，，
，且，
，得到，整理得，
，
，
，整理得，
，，解得
故答案为：.
例8．（2023·全国·高三