人教高中数学重难点03四种三角函数与解三角形数学思想（核心考点讲与练）(解析版）.docx

重难点03四种三角函数与解三角形数学思想（核心考点讲与练）
能力拓展
题型一：函数与方程思想
一、单选题
1．（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（理））在中，角所对的边分别为，，，则面积的最大值是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用二倍角公式和正弦定理化简已知等式可得；利用余弦定理可构造等量关系求得，进而得到；利用三角形面积公式，将表示为以为自变量的二次函数的形式，利用二次函数最值的求法可求得所求最大值.
【详解】由得：，
即，由正弦定理得：；
由余弦定理得：，，
即，，，
，
，，
，
则当时，，.
故选：A.
二、多选题
2．（2021·重庆市凤鸣山中学高三阶段练****已知函数,则下列命题正确的是（       ）
A．函数的单调递增区间是；
B．函数的图象关于点对称；
C．函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于y轴对称，则m的最小值是；
D．若实数m使得方程在上恰好有三个实数解，，，则．
【答案】ACD
【分析】根据辅助角公式把函数的关系变形为正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质应用即可判断各选项.
【详解】由，得.
对于A，当时，，
当即时，函数单调递增，
所以函数单调递增区间为，故A正确；
对于B，当时，，故B不正确；
对于C，函数的图象向左平移个单位长度后，得到
所得的图象关于y轴对称，
所以,解得，
当时，m的最小值是，故C正确；
对于D，如图所示，
实数m使得方程在上恰好有三个实数解，，，
则必有，或，此时，另一解为.
所以，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
3．（2022·全国·高三专题练****已知函数，若对任意实数，，方程
有解，方程也有解，则的值的集合为______.
【答案】
【分析】根据题意，不妨设，分类讨论当，，三种情况下，结合方程有解以及余弦函数的图象和性质，从而求出和的值，即可得出的值的集合.
【详解】解：由题可知，不妨设，
对于，对任意实数，，方程有解，
当时，方程可化为有解，
所以恒成立，所以；
当时，同上；
当时，方程可化为有解，所以，
综上得：；
对于，对任意实数，，方程也有解，
当时，方程可化为有解，所以；
当时，同上；
当时，方程可化为有解，
所以恒成立，所以，
所以的值的集合为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数与方程的综合问题，考查余弦函数的图象和性质，通过设，以及分类讨论与的大小情况，并将方程有解转化为恒成立问题是解题的关键，考查学生的分类讨论思想和逻辑分析能力.
4．（2022·全国·高三专题练****函数的定义域是_________
【答案】
【分析】根据函数的解析式，列出解析式成立的条件，即可求得函数的定义域．
【详解】由题意知，，
即，
所以的定义域为：
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的定义域的求解，根据函数的解析式列出满足的条件是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
四、解答题
5．（2021·全国·高三专题练****已知，①
，②
求证：.
【分析】证法一：将与看作方程的两根，证明此方程的两根之差为零即可；.证法二：将①式看作以3为元的一元二次方程，②式的左端恰为该方程的判别式求解.
【详解】证法一：已知条件可变为，
.
视与为方程的两根，
问题转化为证明此方程的两根之差为零.
由于.
因此，.
证法二：注意到已知条件中的数学关系，则①式就是以3为元的一元二次方程，
而②式的左端恰为该方程的判别式，从而可得.
则①式变为.（*）
当时，由已知条件可得，从而；
当时，由②式知方程（*）有两个相等的实数根，
，即，代入①式得.
6．（2022·全国·高三专题练****已知函数（）.
（1）若当时，的最大值为，最小值为，求实数a，b的值
（2）若，设函数，且当时，恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）配方得到，根据，，分，，讨论求解；
（2）方法一：通过参变分离转化为恒成立求解；方法二：由恒成立，令，转化为在上恒成立求解，
【详解】（1），
∵，，
∴当时，，.
解得或（舍去），
∴，.
当时，，.
解得（舍去）.
综上所述，，.
（2）解法一：.
当时，恒成立，
，令，则.
，
由对勾函数的性质得
，
所以.
∴m的取值范围是.
解法二：.
当时，恒成立，
令，则，则在上恒成立，
则，即.
∴m的取值范围是.
题型二