人教高中数学重难点15七种圆锥曲线的应用解题方法（核心考点讲与练）(解析版）.docx

重难点15七种圆锥曲线的应用解题方法（核心考点讲与练）
能力拓展
题型一：弦长问题
一、单选题
1．（2022·福建厦门·模拟预测）已知抛物线的准线被圆所截得的弦长为，则（       ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】有几何关系，圆与抛物线交点的坐标与圆半径满足勾股定理，可求得准线，即可求得p
【详解】由题，圆与抛物线都关于x轴对称，故所截得的弦AB与x轴垂直，圆心为原点，圆半径为2，则有，解得，故，得，
故选：C
2．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））己知直线l过抛物线的焦点，并且与抛物线C交于不同的两点A、B，若为线段的中点，则的值为（       ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【分析】先求出抛物线的准线方程，分别过作准线的垂线，垂足分别为，由抛物线的定义可得出答案.
【详解】抛物线的准线方程为：
分别过作准线的垂线，垂足分别为
则点到准线的距离为
根据抛物线的定义可得,且
所以
故选：C
3．（2022·河南郑州·三模（文））斜率为1的直线l与椭圆相交于A，B两点，则的最大值为（       ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】设直线方程与椭圆方程联立，求得弦长，即可得到最大值.
【详解】设两点的坐标分别为，，直线l的方程为，
由消去y得，
则，.
∴
，
∴当时，取得最大值，
故选:D.
二、多选题
4．（2022·河北邯郸·二模）已知P是圆O：上的动点，点Q(1，0)，以P为圆心，PQ为半径作圆P，设圆P与圆O相交于A，B两点．则下列选项正确的是（       ）
A．当P点坐标为(2,0)时，圆P的面积最小
B．直线AB过定点
C．点Q到直线AB的距离为定值
D．
【答案】ACD
【分析】A由题意圆P的面积最小只需最小，结合圆的性质判断；B应用特殊点，讨论为圆O在x轴交点分别判断直线的位置即可判断；C由两圆相交弦所在直线的求法确定直线，再由点线距离公式判断；D由垂直平分，结合弦心距、半径、弦长关系得到关于圆P半径的表达式，结合二次函数性质求范围.
【详解】A：根据圆的性质知：P点坐标为(2,0)时最小，此时圆P的面积最小，正确；
B：若圆P的半径为且，
如下图，当为圆O在x轴右侧交点，此时，显然直线垂直于x轴，在点右侧；
如下图，当为圆O在x轴左侧交点，此时，显然直线也垂直于x轴，在点左侧；
所以直线不可能过定点，错误；
C：由对称性，不妨设，则，
所以圆P方程为，又直线为两圆相交弦，
则圆P、圆O相减并整理得：直线，
所以Q到直线AB的距离为定值，正确；
D：由题意，与交于C且垂直平分，
令，则，可得，故，
所以，正确；
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：选项C利用两圆相交求相交弦所在直线方程，结合点线距离公式求距离，选项D通过弦心距、弦长、半径的几何关系得到关于圆P半径的表达式.
三、填空题
5．（2022·江苏·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，以为直径的圆分别与x轴交于异于F的P，Q两点，若，则线段的长为________．
【答案】
【分析】作出图形，结合几何性质求出，进而可求出直线的斜率，然后将直线方程与抛物线联立，结合韦达定理即可求出结果.
【详解】
过点分别作准线的垂线，垂足分别为，过点作的垂线，垂足为，由题意可知，所以，设，
所以，且，因此，故，所以，即，因此直线的斜率为，又因为，所以直线的方程为，与抛物线联立，即，设，
则，因此，
故答案为：.
【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
6．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知抛物线，直线被抛物线C截得的弦长为8，则抛物线C的准线方程为___．
【答案】
【分析】联立直线方程和抛物线方程，得到根与系数的关系式，利用弦长可求得，即可求得答案.
【详解】由题意得， ，消x可得， ，
设，则，
故
，∴，则准线方程为，
故答案为：
四、解答题
7．（2022·全国·二模（理））已知动圆M经过定点，且与圆相内切．
(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；
(2)设点T在上，过点T的两条直线分别交轨迹C于A，B和P，Q两点，且，求直线AB的斜率和直线PQ的斜率之和