人教版专题12 平行四边形与特殊的平行四边形-三年（2019-2021）中考真题数学分项汇编（全国通用）（解析版）.docx

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专题12.平行四边形与特殊的平行四边形
一、单选题
1．（2021·四川南充市·中考真题）如图，在矩形ABCD中，，，把边AB沿对角线BD平移，点，分别对应点A，B．给出下列结论：①顺次连接点，，C，D的图形是平行四边形；②点C到它关于直线的对称点的距离为48；③的最大值为15；④的最小值为．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据平移的性质和平行四边形的判定方法判断①，再利用等积法得出点C到BD的距离，从而对②做出判断，再根据三角形的三边关系判断③，如图，作关于的对称点，交于 连接，过作于 分别交于 证明 是最小值时的位置，再利用勾股定理求解，对④做出判断．
【详解】解：由平移的性质可得AB//且AB=
∵四边形ABCD为矩形∴AB//CD，AB=CD=15∴//CD且=CD
∴四边形CD为平行四边形，故①正确
在矩形ABCD中，BD===25,过A作AM⊥BD，CN⊥BD，则AM=CN
∴S△ABD=AB·CD= BD·AM∴AM=CN==12∴点C到的距离为24
∴点C到它关于直线的对称点的距离为48∴故②正确
∵∴当在一条直线时最大，此时与D重合
∴的最大值==15∴故③正确，
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如图，作关于的对称点，交于 连接，过作于 分别交于 则 为的中位线， ，
由可得，
此时最小，由②同理可得：
设 则
由勾股定理可得：
整理得： 解得：（负根舍去），
∴故④正确故选D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的性质以及平移的性质,锐角三角函数的应用等知识点，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
2．（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，菱形ABCD中，，点P从点B出发，沿折线方向移动，移动到点D停止．在形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（ ）
A．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形
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B．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形
C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
D．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
【答案】C
【分析】是特殊三角形，取决于点P的某些特殊位置，按其移动方向，逐一判断即可．
【详解】解：连接AC，BD，如图所示．∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，∠D=∠B．
∵∠B=60°，∴∠D=∠B=60°．∴和都是等边三角形．
点P在移动过程中，依次共有四个特殊位置：
（1）当点P移动到BC边的中点时，记作．
∵是等边三角形，是 BC的中点，∴．∴．∴是直角三角形．
（2）当点P与点C重合时，记作．此时，是等边三角形；
（3）当点P移动到CD边的中点时，记为．∵和都是等边三角形，
∴．∴是直角三角形．
（4）当点P与点D重合时，记作．∵，∴是等腰三角形．
综上，形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是：
直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形．故选：C
【点睛】本题考查了菱形的性质、直角三角形的判定、等腰三角形的判定、等边三角形的性质与判定等知识点，熟知特殊三角形的判定方法是解题的关键．
3．（2021·山东泰安市·中考真题）如图，在平行四边形中，E是的中点，则下列四个结论：①；②若，，则；③若，则；④若，则与全等．其中正确结论的个数为（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】依次分析各选项，进行推理论证即可；其中①可通过证明，进一步转换后可以得到结论，②可先得到该平行四边形是矩形，利用矩形的性质等得到MN垂直平分BC，即可完成求证，③可以先证明两个三角形的共线边上的高的关系，再利用三角形面积公式即可完成证明，④可以先证明后可进一步证明，即可完成求证．
【详解】解：∵平行四边形中，E是的中点，∴，，，
∴,,∴,
∴，∴，故①正确；若，则平行四边形是矩形，
由矩形的对角线相等，而点E是矩形的对角线的交点可知，E点到B、C两点的距离相等，
∴E点在BC的垂直平分线上，由，可得BN=CN，所以N点是BC的中点，
∴MN垂直平分BC，∴，故②正确；若，则BN=2CN，
如图1，分别过D、E两点向BC作垂线，垂足分别为Q点和P点，
∵E点是BD中点，∴DQ=2EP，∵，
∴，故③正确；
若，因为，所以，分别过N、C两点向AD作垂线，垂足分别为H、K，
由平行线间的距离处处相等可知：NH=CK，∴，
∴，∴,∴，
又∵，∴,故④正确；故选：D．
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