人教版专题20 探究型之存在性问题（解析板）.doc

一、选择题
1. （玉林、防城港）蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．设定AB边如图所示，则△ABC是直角三角形的个数有【 】[来源:学科网ZXXK]
A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
【答案】D．
【解析】
当点C在位置8，9时，△ABC是直角三角形（以位置8为例）：
∵∠BFD=120º.，∠CFD=60º，∴点C，F，B 三点共线. ∴∠ABC=∠DBF=30º.
又∵∠BAC=2×30º=60º，∴∠ACB =90º.
∴△ABC是直角三角形.
同理可得位置9情况.
[来源:学科网ZXXK]
综上所述，△ABC是直角三角形的个数有10个.
故选D．
考点：1.网格问题；2.正多边形和圆；3.三角形和多边形内角和定理；4.分类思想的应用．
二、填空题
三、解答题
1. （梅州）（本题满分11分）如图，已知抛物线与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C.
（1）直接写出A、D、C三点的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使得MD+MC的值最小，并求出点M的坐标；
（3）设点C关于抛物线对称的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）A(4，0) 、D(－2，0)、C(0，－3)；（2）连接AC，则AC与抛物线的对称轴交点M即为所求，M (1，)；（3）存在，(－2，0)或(6，6).
【解析】
试题分析：（1）在中令，解得，
∴A(4，0) 、D(－2，0).
在中令，得，∴C(0，－3).
（2）连接AC，根据轴对称的性质，AC与抛物线的对称轴交点M即为所求，从而应用待定系数法求出AC的解析式，再求出抛物线学科网的对称轴，即可求得点M的坐标.
（3）分BC为梯形的底边和BC为梯形的腰两种情况讨论即可.
试题解析：（1）A(4，0) 、D(－2，0)、C(0，－3)
（2）如图，连接AC，则AC与抛物线的对称轴交点M即为所求.
设直线AC的解析式为，则，解得.
（3）存在，分两种情况：
①如图，当BC为梯形的底边时，点P与D重合时，四边形ADCB是梯形，此时点P为(－2，0).
②如图，当BC为梯形的腰时，过点C作CP//AB，与抛物线交于点P，
∵点C，B关于抛物线对称，∴B(2，－3)
设直线AB的解析式为，则，解得.
∴直线AB的解析式为.
∵CP//AB，∴可设直线CP的解析式为.
综上所述，在抛物线上存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形，点P的坐标为(－2，0)或(6，6).
考点：1.二次函数综合题；2.待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4. 轴对称的应用（最短线路问题）；5.二次函数的性质；6.梯形存在性问题；7.分类思想的应用.
2. （毕节）（16分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为A（﹣1，﹣1），与x轴交点M（1，0）．C为x轴上一点，且∠CAO=90°，线段AC的延长线交抛物线于B点，另有点F（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线AC的解析式及B点坐标；
（3）过点B做x轴的垂线，交x轴于Q点，交过点D（0，﹣2）且垂直于y轴的直线于E点，若P是△BEF的边EF上的任意一点，是否存在BP⊥EF？若存在，求P点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2），（﹣5，3）；（3）存在P点使得BP⊥EF，此时P（﹣3，﹣1）．
【解析】
设直线AC的解析式为：y=kx+b，
将A，C点代入得出：，解得：.
∴直线AC的解析式为：.
将和y=﹣x﹣2联立得：，解得：.
∴将y=﹣2x﹣7和联立得：，解得：.∴P（﹣3，﹣1）.[来源:学&科&网Z&X&X&K]
故存在P点使得BP⊥EF，此时P（﹣3，﹣1）．
考点：1.二次函数综合题；2.单动点问题；3.待定系数法的应用；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5. 等腰直角三角形的判定和性质；6.存在性问题.
3. （遵义）（14分）如图，二次函数的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．
（1）求该二次