人教版数学考点21 直角三角形和锐角三角函数（解析版）.docx

考点二十一 直角三角形和锐角三角函数
【命题趋势】
在中考中，直角三角形在中考常结合勾股定理、面积法在选择题、填空题考查；锐角三角形函数常在选择题、填空题考查，并且结合实际问题考查。
【中考考查重点】
直角三角形的性质于判定
锐角三角函数
30°、45°、60°的三角函数值
考点一：直角三角形的性质与判定
性质
两锐角之和等于90°
斜边上的中线等于斜边的一半
30°角所对的直角边等于斜边的一半
若有一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于30°（应用时需先证明）
勾股定理：若直角三角形的两直角边分别为a，b,斜边为c,则
判定
有一个角为90°的三角形时直角三角形
有两个角的和时90°的三角形是直角三角形
一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a,b,c若满足
，那么这个三角形为直角三角形。
面积公式
，其中a是底边常，hs是底边上的高
1．（2020•河北）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（　　）
A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4
【答案】B
【解答】解：当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，围成的直角三角形的面积是＝，
当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，围成的直角三角形的面积是＝；
当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形不是直角三角形；
当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，围成的直角三角形的面积是＝，
∵，
∴所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2，3，5，
故选：B．
2．（2021•商河县校级模拟）如图，BD平分∠ABC，CD⊥BD，D为垂足，∠C＝55°，则∠ABC的度数是（　　）
A．35° B．55° C．60° D．70°
【答案】D
【解答】解：∵CD⊥BD，∠C＝55°，
∴∠CBD＝90°﹣55°＝35°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠CBD＝2×35°＝70°．
故选：D．
3．（2020•南海区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，AE平分∠BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则△BDE的周长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC＝3，AE平分∠BAC，
∴BE＝CE＝BC＝2，
又∵D是AB中点，
∴BD＝AB＝，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝AC＝，
∴△BDE的周长为BD+DE+BE＝++2＝5．
故选：C．
4．（2021•滨州）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则点C到直线AB的距离为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．2.4
【答案】D
【解答】解：作CD⊥AB于点D，如右图所示，
∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵，
∴，
解得CD＝2.4，
故选：D．
5．（2021•黔东南州）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，若以AC为直径的⊙O交AB于点D，则CD的长为（　　）
A． B． C． D．5
【答案】C
【解答】解：∵以AC为直径的⊙O交AB于点D，
∴∠ADC＝90°，即CD⊥AB．
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
则由勾股定理得到：AB＝＝＝10．
∴AC•BC＝AB•CD，即＝．
故CD＝．
故选：C．
6．（2021•荆州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，CD⊥AB于D，则CD的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝＝3，
∵CD⊥AB，
∴S△ABC＝AB•CD＝AC•BC，
∴CD＝＝＝，
故选：D．
7．（2021•襄阳）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈＝10尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的