专题25圆与相似三角函数综合解答题-2021年中考数学真题分项汇编（解析版）【人教版】（第02期）.docx

2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】（第02期）
专题25圆与相似三角函数综合解答题
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
一、解答题
1．（2021·四川内江·中考真题）如图，是的直径，、是上两点，且，过点的直线交的延长线于点，交的延长线于点，连结、交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，的半径为2，求阴影部分的面积；
（3）连结，在（2）的条件下，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】
（1）根据同圆中等弧所对的圆周角相等得到∠CAD=∠DAB，根据等边对等角得到∠DAB=∠ODA，则∠CAD=∠ODA，即可判定OD∥AE，进而得到OD⊥DE，据此即可得解；
（2）连接BD，根据相似三角形的性质求出AE=3，AD=2，解直角三角形得到∠DAB=30°，则∠EAF=60°，∠DOB=60°，DF=2，再根据S阴影=S△DOF-S扇形DOB即可得解；
（3）过点E作EM⊥AB于点M，连接BE，解直角三角形得到AM=，EM=，则MB=，再根据勾股定理求解即可．
【详解】
解：（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：，
，
，
，的半径为2，
，
，
如图，连接，
是的直径，，
，
，
，
，
即，
，
在中，，
，
，，
，
，
，
；
（3）如图，过点作于点，连接，
在中，，，
，
．
【点睛】
此题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质、扇形的面积、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质并证明
△OGD∽△EGA求出AE是解题的关键．
2．（2021·甘肃兰州·中考真题）如图，内接于，是的直径，为上一点，，延长交于点，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据，可得，根据对顶角相等可得，进而可得，根据，可得，结合，根据角度的转化可得，进而即可证明是的切线；
（2）根据，可得，设，则，分别求得，进而根据勾股定理列出方程解方程可得，进而根据即可求得．
【详解】
（1），
，
，
，
，
，
是直径，
，
，
是的切线；
（2），
，
，
设，则，
，，
在中，，
即，
解得（舍去），
．
【点睛】
本题考查了切线的判定，勾股定理解直角三角形，正切的定义，利用角度相等则正切值相等将已知条件转化是解题的关键．
3．（2021·青海西宁·中考真题）如图，内接于，，是的直径，交于点E，过点D作，交的延长线于点F，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）已知，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）由题意根据圆周角定理得出，结合同弧或等弧所对的圆周角相等并利用经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线进行证明即可；
（2）根据题意利用相似三角形的判定即两个角分别相等的两个三角形相似得出，继而运用相似比即可求出的长．
【详解】
解：（1）证明：∵是的直径
∴（直径所对的圆周角是直角）
即
∵
∴（等边对等角）
∵
∴（同弧或等弧所对的圆周角相等）
∴
∵，
∴
∴即
∴
又∵是的直径
∴是的切线（经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．
（2）解：∵，
∴
∵，
∴（两个角分别相等的两个三角形相似）
∴，
∴
∴．
【点睛】
本题主要考查圆的切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
4．（2021·山东济南·中考真题）已知：如图，是的直径，，是上两点，过点的切线交的延长线于点，，连接，．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接，根据切线的性质，已知条件可得，进而根据平行线的性质可得，根据圆周角定理可得，等量代换即可得证；
（2）连接，根据同弧所对的圆周角相等，可得，进而根据正切值以及已知条件可得的长，勾股定理即可求得，进而即可求得圆的半径．
【详解】
（1）连接，如图，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
．
（2）连接
是的直