人教版第11讲 斜化直策略问题-2020年中考数学《二轮冲刺核心重点难点热点15讲》(全国通用)解析版.doc

硬核：狙击2020中考数学重点/难点/热点
一次函数的“倾斜度”
1. 在平面直角坐标系中，当某条直线的解析式确定时，其与坐标轴围成的三角形也是确定的，不妨称为
该直线对应的“坐标三角形”，即如图1，△AOB即为直线的“坐标三角形”.
2. 当直线的解析式一旦确定，则其与x轴所夹的锐角也是确定，如图1，因为，
，故.
3. 事实上，在该直线上任取两点，过这两点任意作“横平竖直辅助线”，构成的直角三角形都与其“坐标三角形”相似，如图2，△P1GP2∽△BOA，∠P1P2G=∠BAO=|k|，一般地，我们可以用tan∠OAB=|k|来刻画一条直线的倾斜程度，这与“坡角”与“坡度”的关系本质相同.

图1 图2
一次函数的k值的魅力
故当一次函数直线的k值确定时，我们即可明白该直线与x轴的夹角度数大小.
如图3，当直线的时，；
如图4，当直线的时，；
如图5，当直线的时，；

图3 图4 图5
如何求一条定线段的垂直平分线的解析式？
如图6，已知点A(2, 5)， B(4, 1)，求线段AB的垂直平分线的解析式.

图6 图7
解析：如图7，取线段AB的中点M，易知M(3, 3)，
过点M作AB的垂线l即为所需垂直平分线，设其与y轴的交点为N，
依托A、B、M、N作“横平竖直辅助线”， 构造出 Rt△ABG∽Rt△NMH，
则有，又，故，
即N 的坐标为， 因此所求垂直平分线l的解析式为
事实上，根据一次函数的性质可知：
当两直线平行时，它们所在直线解析式的k值相等，即；
当两直线垂直时，它们所在直线解析式的k值互为“负倒数”，即；
因此，我们也可以通过这层关系可以轻易求出线段垂直平分线的解析式.
斜化直的核心思想即利用所给的线段为斜边构造直角三角形模型进行解题，且化斜为直的思想在锐角三角函数这一章用得较为平常。
【例题1】如图，在△ABC中，点D是AB的中点，DC⊥AC，且tan ∠BCD＝，求∠A的三角函数值．
解：如图，过点D作CD的垂线交BC于点E.
在Rt△CDE中，
∵tan ∠BCD＝＝，∴可设DE＝x，则CD＝3x.
∵CD⊥AC，∴DE∥AC.
又∵点D为AB的中点，
∴点E为BC的中点．
∴DE＝AC.∴AC＝2DE＝2x.
在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，AC＝2x，CD＝3x，
∴AD＝＝＝x.
∴sin A＝＝＝，
cos A＝＝＝，
tan A＝＝＝.
方法技巧：本题中出现了tan ∠BCD＝，由于∠BCD所在的三角形并非直角三角形，因此应用正切函数的定义，构造出一个与之相关的直角三角形进行求解．
【例题2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sin B＝，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，CD＝DE，AC＋CD＝9，求BE，CE的长．
解：∵sin B＝，∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴sin B＝＝＝.
设DE＝CD＝3k，则DB＝5k，∴CB＝8k.
∴AC＝6k，AB＝10k.
∵AC＋CD＝9，∴6k＋3k＝9.∴k＝1.
∴DE＝3，DB＝5.∴BE＝＝4.
如图，过点C作CF⊥AB于点F，
则CF∥DE.
∴＝＝＝，求得CF＝，BF＝.
∴EF＝BF－BE＝.
在Rt△CEF中，CE＝＝.
点拨：方程思想是一种重要的思想方法，运用方程思想可以建立已知量和待求量之间的关系式，平时学****时，应该不断积累用方程思想解题的方法．
【例题3】如图，在平面直角坐标系中，已知M点坐标为（1, 3)，直线与y轴交于A点，与x轴交于B点，求点M关于该直线的对称点的坐标.（两种方法求解）
的坐标为
【例题4】一次函数y＝x+b（b＞0）与y＝x﹣1图象之间的距离等于3，则b的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【解析】设直线y＝x﹣1与x轴交点为C，与y轴交点为A，