人教版类型三 新解题方法型-2020年中考数学第二轮重难题型突破（解析版）.doc

类型三 新解题方法型
例1、 求两个正整数的最大公约数是常见的数学问题，中国古代数学专著《九章算术》中便记载了求两个正整数最大公数最大公约数的一种方法——更相减损术，术曰：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少成多，更相减损，求其等也．以等数约之”，意思是说，要求两个正整数的最大公约数，先用较大的数减去较小的数，得到差，然后用减数与差中的较大数减去较小数，以此类推，当减数与差相等时，此时的差(或减数)即为这两个正整数的最大公约数．
例如：求91与56的最大公约数
　91－56＝35
56－35＝21
35－21＝14
21－14＝7
14－7＝7
所以，91与56的最大公约数是7.
请用以上方法解决下列问题：
(1)求108与45的最大公约数；
(2)求三个数78、104、143的最大公约数．
【解答】解：(1)108－45＝63
63－45＝18
45－18＝27
27－18＝9
18－9＝9
所以，108与45的最大公约数是9；
(2)①先求104与78的最大公约数，
104－78＝26
78－26＝52
52－26＝26
所以，104与78的最大公约数是26；
②再求26与143的最大公约数，
143－26＝117
117－26＝91
91－26＝65
65－26＝39
39－26＝13
26－13＝13
所以，26与143的最大公约数是13.综上所述，78、104、143的最大公约数是13.
例2、数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．
探究：求不等式|x－1|< 2的解集
(1)探究|x－1|的几何意义
【解答】如图①，在以O为原点的数轴上，设点A′对应的数是x－1，由绝对值的定义可知，点A′与点O的距离为|x－1|，可记为A′O＝|x－1|.将线段A′O向右平移1个单位得到线段AB，此时点A对应的数是x，点B对应的数是1.因为AB＝A′O，所以AB＝|x－1|.因此，|x－1|的几何意义可以理解为数轴上x所对应的点A与1所对应的点B之间的距离AB.
第2题图
(2)求方程|x－1|＝2的解
【解答】因为数轴上3和－1所对应的点与1所对应的点之间的距离都为2，所以方程的解为3，－1.
(3)求不等式|x－1|<2的解集
因为|x－1|表示数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离，所以求不等式解集就转化为求这个距离小于2的点对应的数x的范围．
请在图②的数轴上表示|x－1|<2的解集，并写出这个解集．
【解答】 解：在数轴上表示如解图所示．
第2题解图
所以，不等式的|x－1|<2的解集为－1<x<3.
例3、古希腊数学家丢番图(公元250年前后)在《算术》中提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如x2＋ax＝b2(a＞0，b＞0)的方程的图解法是：如图，以和b为两直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取BD＝，则AD的长就是所求方程的解．
(1)请用含字母a、b的代数式表示AD的长．