人教版类型一 圆的基本性质证明与计算-2020年中考数学第二轮重难题型突破（解析版）.doc

类型一 圆的基本性质证明与计算
命题点1　垂径定理
例1、如图，CD是⊙O的直径，AB是弦(不是直径)，AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是( )
A．AE>BE
B.＝
C．∠D＝∠AEC
D．△ADE∽△CBE
【答案】：D
命题点2　圆周角定理
例2、如图，点O为优弧所在圆的圆心，∠AOC＝108°，点D在AB的延长线上，BD＝BC，则∠D______．
【答案】：27°
重难点1　垂径定理及其应用
例3、已知AB是半径为5的⊙O的直径，E是AB上一点，且BE＝2.
(1)如图1，过点E作直线CD⊥AB，交⊙O于C，D两点，则CD＝_______；

图1 　　 图2 　　 图3 　　图4
探究：如图2，连接AD，过点O作OF⊥AD于点F，则OF＝_____；
(2)过点E作直线CD交⊙O于C，D两点．
①若∠AED＝30°，如图3，则CD＝__________；
②若∠AED＝45°，如图4，则CD＝___________．
【答案】：（1）8 , （2）
【思路点拨】　由于CD是⊙O的弦，因此利用圆心到弦的距离(有时需先作弦心距)，再利用垂径定理，结合勾股定理，求出弦的一半，再求弦．
【变式训练1】如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上．若OA⊥BC，∠CDA＝30°，则弦BC的长为( )
A．4 B．2 C. D．2
【答案】：D
【变式训练2】　【分类讨论思想】已知⊙O的半径为10 cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16 cm，CD＝12 cm，则弦AB和CD之间的距离是__________________
【答案】：2cm或14cm
1．垂径定理两个条件是过圆心、垂直于弦的直线，三个结论是平分弦，平分弦所对的优弧与劣弧．
2．圆中有关弦的证明与计算，通过作弦心距，利用垂径定理，可把与圆相关的三个量，即圆的半径，圆中一条弦的一半，弦心距构成一个直角三角形，从而利用勾股定理，实现求解．
3．事实上，过点E任作一条弦，只要确定弦与AB的交角，就可以利用垂径定理和解直角三角形求得这条弦长．
重难点2　圆周角定理及其推论
例3、已知⊙O是△ABC的外接圆，且半径为4.
(1)如图1，若∠A＝30°，求BC的长；
(2)如图2，若∠A＝45°：
①求BC的长；
②若点C是的中点，求AB的长；
(3)如图3，若∠A＝135°，求BC的长．

图1 图2 　　图3
【答案】（1）4（2）4.,8（3）4.
【点拨】　连接OB，OC，利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，构建可解的等腰三角形求解．
【解析】　解：(1)连接OB，OC.
∵∠BOC＝2∠A＝60°，OB＝OC，∴△OBC是等边三角形．
∴BC＝OB＝4.
(2)①连接OB，OC.
∵∠BOC＝2∠A＝90°，OB＝OC，∴△OBC是等腰直角三角