人教版初中数学专题19 解直角三角形问题（解析版）.docx

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专题19 解直角三角形问题
一、勾股定理和勾股定理逆定理
1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2。
2．勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2＋b2=c2。，那么这个三角形是直角三角形。
二、直角三角形的判定及性质
1.直角三角形的判定
(1)有一个角等于90°的三角形是直角三角形；
(2)两锐角互余的三角形是直角三角形；
(3)两条边的平方和等于另一边的平方的三角形是直角三角形；
(4)有一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形。
2.直角三角形的性质
(1)直角三角形的两锐角互余；
(2)直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方；
(3)直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半；
(4)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
三、各种锐角三角函数的定义
1．正弦：在△ABC中，∠C=90°把锐角A的对边与斜边的比值叫做∠A的正弦，记作sinA＝ 。
2．余弦：在△ABC中，∠C=90°，把锐角A的邻边与斜边比值的叫做∠A的余弦，记作cosA＝ 。
3．正切：在△ABC中，∠C=90°，把锐角A的对边与邻边的比值叫做∠A的正切，记作tanA＝ 。
四、解直角三角形问题类型
1．解直角三角形的概念：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
2．解直角三角形的理论依据：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c
（1）三边之间的关系：（勾股定理）
（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°
（3）边角之间的关系：
3. 解直角三角形类型总结表格
类型
已知条件
解法
两边
两直角边a、b
c=，tanA=，∠B=90°-∠A
一直角边a，斜边c
b=，sinA=，∠B=90°-∠A
一边
一锐角
一直角边a，锐角A
∠B=90°-∠A，b=a·cotA，c=
斜边c，锐角A
∠B=90°-∠A，a=c·sinA， b=c·cosA
五、特殊值的三角函数
三角函数
0°
30°
45°
60°
90°
sinα
0
1
cosα
1
0
tanα
0
1
不存在
cotα
不存在
1
0
六、仰角、俯角、坡度
1．仰角：视线在水平线上方的角；
2．俯角：视线在水平线下方的角。

3．坡度(坡比)：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即。把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么。
七、各锐角三角函数之间的关系
（1）互余关系
sinA=cos(90°—A)，
cosA=sin(90°—A)
tanA=cot(90°—A)，
cotA=tan(90°—A)
（2）平方关系
（3）倒数关系 tanAtan(90°—A)=1
（4）弦切关系 tanA=
八、锐角三角函数的增减性
当角度在0°~90°之间变化时，
（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
【例题1】（2020•陕西）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．
由勾股定理得：AC，
∵S△ABC＝3×33.5，
∴，
∴，
∴BD
【对点练****2020贵州黔西南）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝，则BD的长度为________．
【答案】
【解析】首先证明DB=AD=2CD，然后再由条件BC=可得答案．
解：∵∠C＝90°，∠ADC＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∴CD＝AD．
∵∠B＝30°，∠ADC＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴BD＝AD，
∴BD＝2CD．
∵BC＝，
∴CD＋2CD＝，
∴CD＝，
∴DB＝，
【点拨】此题主要考查了含30°角的直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
【例题2