人教版2020年中考数学专题复习：图形中动点的运动培优.doc

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图形中动点的运动

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题型一：因动点产生的函数关系问题
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我们初二已经学过了三角形、四边形上动点产生的函数问题，初三已学****了新的图形——圆，出现了一些以圆为背景，因点的运动产生的函数问题，这些问题的重点在于定性刻画两个变量之间的关系.
典题精练
圆中点的运动产生函数图象问题
⑴ 如图，是的直径，为圆上一点．点从点出发，沿运动到点，然后从点沿运动到点．假如点在整个运动过程中保持匀速，则下面各图中，能反映点
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与点的距离随时间变化的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
⑵ 如图，点、、、为圆的四等分点，动点从圆心出发，沿线段线段的路线作匀速运动．设运动时间为秒，的度数为度，则下列图象中表示与的函数关系最恰当的是（ ）

A． B． C． D．
⑶ 如图，点是以为圆心，为直径的半圆上的动点，，设弦的长为， 的面积为，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（ ）
O
y
x
O
O
O
x
x
x
y
y
y
⑷ 如图，AB为半圆所在⊙O的直径，弦CD为定长且小于⊙O的半径(点C与点A不重合)，CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E， G为半圆中点, 当点C在上运动时，设的长为，CF+DE= y，则下列图象中，能表示y与的函数关系的图象大致是（ ）

A B C D
⑴ B．⑵ C．⑶ A．⑷ B．
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2. 因动点产生的面积问题
如图1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BC．
（2）设△AQP面积为S（单位：cm2），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值．
（3）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
（4）如图2，把△AQP沿AP翻折，得到四边形AQPQ′．那么是否存在某时刻t，使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由．
【答案】∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，
∴由勾股定理逆定理得△ABC为直角三角形，∠C为直角．
（1）BP=2t，则AP=10-2t．
∵PQ∥BC，∴，即，解得t=，
∴当t=s时，PQ∥BC．
（2）如答图1所示，过P点作PD⊥AC于点D．
∴PD∥BC，∴，即，解得PD=6-t．
S=×AQ×PD=×2t×(6-t)= -t2+6t=-(t-)2+，
∴当t=s时，S取得最大值，最大值为cm2．
（3）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，
则有S△AQP=S△ABC，而S△ABC=AC•BC=24，∴此时S△AQP=12．
由（2）可知，S△AQP=-t2+6t，
∴-t2+6t=12，化简得：t2-5t+10=0，
∵△=(-5)2-4×1×10=-15＜0，此方程无解，
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∴不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分．
（4）假设存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，则有AQ=PQ=BP=2t．
如答图2所示，过P点作PD⊥AC于点D，则有PD∥BC，
∴，即，
解得：PD=6-t，AD=8-t，
∴QD=AD-AQ=8-t-2t=8-t．
在Rt△PQD中，由勾股定理得：QD2+PD2=PQ2，
即（8﹣t）2+（6﹣t）2=（2t）2，
化简得：13t2﹣90t+125=0，
解得：t1=5，t2=，
∵t=5s时，AQ=10cm＞AC，不符合题意，舍去，∴t=．
由（2）可知，S△AQP=-t2+6t
∴S菱形AQPQ′=2S△AQP=2×（-t2+6t）=2×[-×()2+6×]=cm2．
所以存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，此时菱形的面积为cm2．