人教版第08讲 三角形的存在性-2020年中考数学《二轮冲刺核心重点难点热点15讲》(全国通用)解析版.doc

硬核：狙击2020中考数学重点/难点/热点
两点间距离公式
等腰三角形“三线合一”
勾股定理
锐角三角函数
全等三角形的判定
相似三角形的性质与判定
一、等腰三角形与直角三角形的存在性
（1）“两圆一中垂”——满足等腰三角形的点的存在性的作图方法
探究1: 如图，在坐标轴上找出所有的点C，使ΔABC 为等腰三角形。
方法：分类讨论：
①当A为顶点时，即AB=AC时，以A为圆心，AB为半径画圆，得目标点C1，C2，C3，C4
②当B为顶点时，即BA=BC时，以B为圆心，BA为半径画圆，得目标点C5，C6，C7，C8
③当C为顶点时，即CA=CB时，作线段AB的垂直平分线，得目标点C9，C10
故，满足条件的点C共有10个.
（2）“一圆两垂直”——满足直角三角形的点的存在性的作图方法
探究2: 如图，在坐标轴上找出所有的点C，使ΔABC 为直角三角形。
方法：分类讨论：
①当∠A=90°时，过点A作线段AB的垂线，得目标点C1，C2
②当∠B=90°时，过点B作线段AB的垂线，得目标点C3，C4
③当∠C=90°时，以AB为直径作圆，得目标点C5，C6，C7，C8
故，满足条件的点C共有8个.
（3）“代数求值解法”——满足等腰/直角三角形的点的坐标计算方法
①写出或设出三角形三个顶点的坐标；
②利用两点间距离公式，计算三角形三条边长的平方；
③若是等腰三角形，则由等腰三角形的三边长（的平方）可以两两相等，需分三类，列方程求解；若是直角三角形，则表示出三边的平方，利用勾股定理列出方程即可求解.
④检验求出的点是否符合题意，即能否构成三角形。
二、相似三角形的存在性
（1）导边法，（“SAS”法）
①先找到一组关键的等角，有时明显，有时隐蔽；
②以这两个相等角的两邻边分两种情形对应成比例列方程
如图，在△ABC和△DEF中，若已确定∠A=∠D, 则要使
△ABC与△DEF相似，需要分两种情形讨论：
或，再列方程求解即可.
（1）导角法，（AA”法）
①先找到一组关键的等角；
②另两个内角分两类对应相
如图，在△ABC和△DEF中，若已确定∠A=∠D, 则要使
△ABC与△DEF相似，需要分两种情形讨论：
∠B=∠E或∠B=∠F，再进行分析处理即可.
【例题1】在平面直角坐标系中，点A坐标为（﹣2，1），点B坐标为（2，3），点C为x轴上的一个动点，记作（a，0）．
（1）求AC+BC的最小值，并求AC+BC的最小值时点C的坐标．
（2）若△ABC为等腰三角形，求点C坐标．
（3）若△ABC为直角三角形，求点C坐标．
（4）若点D坐标为（a+1，0），求四边形ACDB的周长的最小值，并求出C点坐标．
【解析】（1）∵点A坐标为（﹣2，1）
∴点A坐标关于x轴的对称点为A'（﹣2，﹣1）
根据两点之间，线段最短可得：当点C，点A'，点B三点共线时，AC+BC值最小．
∴AC+BC最小值为为A'B的长度，即A'B＝＝4
设直线A'B解析式y＝kx+b∴，解得：k＝1，b＝1
∴解析式y＝x+1
∴当y＝0时，a＝﹣1
∴点C（﹣1，0）
（2）∵△ABC为等腰三角形，
∴AB＝AC或AC＝BC或AB＝BC
①若AB＝AC时，
∵点A坐标为（﹣2，1），点B坐标为（2，3），点C（a，0）
∴（2+2）2+（3﹣1）2＝（a+2）2+（1﹣0）2．∴a＝±﹣2
∴点C坐标为（，2），（﹣，2）
②若AB＝BC时，
∴（2+2）2+（3﹣1）2＝（a﹣2）2+（3﹣0）2．∴a＝2±
∴点C坐标为（2+，0），（2﹣，0）
③若BC＝AC时，
∴（a﹣2）2+（3﹣0）2＝（a+2）2+（1﹣0）2．∴a＝1
∴点C（1，0）
（3）若△ABC为直角三角形，
∴∠ABC＝90°或∠ACB＝90°或∠BAC＝90°，
①若∠ABC＝90°，则AB⊥BC
∵点A坐标为（﹣2，1），点B坐标为（2，3），∴直线AB的解析式y＝x+2
∴设直线BC解析式y＝﹣2x+b过点B
∴3＝﹣4+b∴b＝7
∴解析式y＝﹣2x+7
当y＝0时，x＝∴点C（，0）
②若∠BAC＝90°，则AC⊥AB
设直线AC解析式y＝﹣2x+m过点A
∴1＝4+m∴m＝﹣3∴解析式y＝﹣2x﹣3
当y＝0时，x＝﹣，∴点C（﹣，0）
当∠ACB＝90°时，
∵AB2＝AC2+BC2．
∴20＝（a+2）2+1+