人教版专题9 辅助圆—90°圆周角所对直径的妙用-备战2020年中考数学压轴题专题研究.doc

专题九：辅助圆——90°圆周角所对直径的妙用
专题导例
如图，已知点A（﹣6，0），B（2，0），点C在直线上，则使△ABC是直角三角形的点C的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
方法剖析
【分析】根据∠A为直角，∠B为直角与∠C为直角三种情况进行分析．
我们知道，已知线段AB，如下图，以线段AB为斜边的直角三角形ABC有个数为 个，顶点C的轨迹是 ．
方法：见直角→找斜边（定长）→想直径→定外心→现“圆”形．
解直角三角形的存在性问题，一般分三步走：
第一步：寻找分类标准：
第二步：尝试作圆；
第三步：依据勾股或相似来列方程；
第四步：解方程并点的合理性．
导例解析：如图，
①当∠A为直角时，过点A作垂线与直线的交点W（﹣6，4），
②当∠B为直角时，过点B作垂线与直线的交点S（2，），
③若∠C为直角，
则点C在以线段AB为直径、AB中点E（﹣2，0）为圆心、4为半径的圆与直线的交点上．
在直线中，当x＝0时y＝2，即Q（0，2），
当y＝0时x＝6，即点P（6，0），
则PQ＝＝4，
过AB中点E（﹣2，0），作EF⊥直线l于点F，
则∠EFP＝∠QOP＝90°，
∵∠EPF＝∠QPO，
∴△EFP∽△QOP，
∴＝，即＝，
解得：EF＝4，
∴以线段AB为直径、E（﹣2，0）为圆心的圆与直线恰好有一个交点．
所以直线上有一点C满足∠C＝90°．
综上所述，使△ABC是直角三角形的点C的个数为3，
故选：C．
典例剖析
类型一：确定直角三角形的个数
例1．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，0），B（2，0），若点C在一次函数y＝﹣x+2的图象上，且△ABC为直角三角形，则满足条件的点C有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据已知可求得直线与两轴的交点，①分别过点A、点B作垂线，可得出符合题意的点C，②利用圆周角定理，可得出符合条件的两个点C．
类型二：利用直径所对圆周角为90°来解决相应问题
例2．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+（k﹣1）x﹣k与直线y＝kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．
（1）如图1，当k＝1时，直接写出A，B两点的坐标；
（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，抛物线y＝x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y＝kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．
【分析】方法一：
（1）当k＝1时，联立抛物线与直线的解析式，解方程求得点A、B的坐标；
（2）如答图2，作辅助线，求出△ABP面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出最大值及点P的坐标；
（3）“存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°”的含义是，以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，由圆周角定理可知，此时∠OQC＝90°且点Q为唯一．以此为基础，构造相似三角形，利用比例式列出方程，求得k的值．需要另外注意一点是考虑直线AB是否与抛物线交于C点，此时亦存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°．
方法二：
（1）联立直线与抛物线方程求出点A，B坐标．
（2）利用面积公式求出P点坐标．
（3）列出定点O坐标，用参数表示C，Q点坐标，利用两直线垂直的性质构建方程求出k的值．
专题突破
1．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为　 　．
2．如图，在Rt△ABC中，BC＝AC＝2，点M是AC边上一动点，连接BM，以CM为直径的⊙O交BM于N，则线段AN的最小值为　 　．
3.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，BC的延长线于过点A的直线相交于点E，且∠B＝∠EAC．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）过点C作CG⊥AD，垂足为F，与AB交于点G，若AG•AB＝36，tanB＝，求DF的值
4.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD⊥BC于点D，直径CF⊥AB于点E，AD、CF交于点H．
（1）求证：EF＝EH；
（2）若＝，AC＝4，求BD的值．
5．学****与探究：
（1）请在图1的正方形ABCD中，作出使∠APB=90°的所有点P，并简要说明做法．我们可以这样解决问题：利用直径所对的圆周角等于90°，作以AB为直径的圆，则正方形ABCD内部的半圆上所有点（A、B除外）