人教版初中数学专题09 反比例函数【考点精讲】（解析版）.docx

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专题09 反比例函数
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考点1：反比例函数图象与性质
1．图象的特征：反比例函数的图象是一条双曲线，它关于坐标原点成中心对称。
2．反比例函数(k≠0,k为常数)的图象和性质:
函数
图象
所在象限
性质
(k≠0，k为常数)
k>0
三象限
(x，y同号)
在每个象限内，y随x增大而减小
k<0
四象限
(x，y异号)
在每个象限内，y随x增大而增大

【例1】（2021·山西）已知反比例函数，则下列描述不正确的是（ ）
A．图象位于第一，第三象限 B．图象必经过点
C．图象不可能与坐标轴相交 D．随的增大而减小
【分析】根据反比例函数图像的性质判断即可．
【详解】
解：A、反比例函数，，经过一、三象限，此选项正确，不符合题意；
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B、将点代入中，等式成立，故此选项正确，不符合题意；
C、反比例函数不可能坐标轴相交，此选项正确，不符合题意；
D、反比例函数图像分为两部分，不能一起研究增减性，故此选项错误，符合题意；
故选：D．
【例2】如图，函数与y＝﹣kx+2（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据题目中函数的解析式，利用一次函数和反比例函数图象的特点解答本题．
【详解】解：在函数和y＝﹣kx+2（k≠0）中，
当k＞0时，函数的图象在第一、三象限，函数y＝﹣kx+2的图象在第一、二、四象限，故选项A、D错误，选项B正确，
当k＜0时，函数的图象在第二、四象限，函数y＝﹣kx+2的图象在第一、二、三象限，故选项C错误，
故选：B．
方法技巧
（1）当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小;
（2）当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大.
针对训练
1．（2021·江苏宿迁市）已知双曲线过点(3，)、(1，)、(-2，)，则下列结论正确的是（ ）
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A． B． C． D．
【分析】利用分比例函数的增减性解答即可．
【详解】
解：∵
∴当x＞0时，y随x的增大，且y＜0；当x＜0时，y随x的增大，且y＞0；
∵0＜1＜3，-2＜0
∴y2＜y1＜0，y3＞0
∴．
故选A．
2．（2021·湖南娄底市）根据反比例函数的性质、联系化学学科中的溶质质量分数的求法以及生活体验等，判定下列有关函数（a为常数且）的性质表述中，正确的是（ ）
①y随x的增大而增大；②y随x的增大而减小；③；④
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【分析】该函数可改写为（a为常数且），此时可以类比反比例函数的性质进行判断，或者利用赋值法也可快速进行选择，选择正确的选项即可．
【详解】
解：，
又∵，
∴随着x的增大，也会随之增大，
∴随着x的增大而减小，
此时越来越小，则越来越大，
故随着x的增大y也越来越大．
因此①正确，②错误；
∵，
∴，
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∴，
故，
因此③正确，④错误；
综上所述，A选项符合．
故选：A．
3．（2021·福建）若反比例函数的图象过点，则k的值等于_________．
【分析】结合题意，将点代入到，通过计算即可得到答案．
【详解】
∵反比例函数的图象过点
∴，即
故答案为：1．
考点2：确定反比例关系式
1．反比例函数的解析式的确定
求反比例函数的解析式跟求一次函数一样，也是待定系数法。
2．反比例函数（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|。常见模型如图：

【例3】（2021·内蒙古呼和浩特市）正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，若A点坐标为，则__________．
【分析】将A点坐标为分别代入正比例函数与反比例函数的解析式中即可求解．
【详解】
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和过点A