第12讲 四边形（压轴题组）（解析版）-2022年中考数学大复习（人教版）.docx

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第12讲 四边形（压轴题组）
1．（2021·广东佛山·九年级期中）如图，已知菱形ABCD，ADx轴，点A的坐标为(4，﹣1)，点B的坐标为(1，3)．
（1）请求出C、D两点的坐标．
（2）若点P在CD上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线l：y＝x+上，求点P的坐标．
（3）若点M在y轴上，点N在直线l上，如果以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标．
【答案】（1）C(﹣4，3)，D(﹣1，﹣1)；（2）(﹣，)或(﹣，)；（3）(5，3)或(3，2)或(﹣3，﹣1)
【详解】
解：（1）如图1，过点B作BF⊥AD于F，
∵点A的坐标为（4，﹣1），点B的坐标为（1，3），
∴BF＝4，AF＝3，
∴由勾股定理得AB＝5，
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∵四边形ABCD是菱形，AD∥x轴，
∴BC＝AD＝AB＝5，
∴C（﹣4，3），D（﹣1，﹣1）；
（2）当点P在边CD上时，
∵直线CD的解析式为y＝﹣x﹣，
设P（a，﹣a﹣），且﹣4≤a≤﹣1，
若点P关于x轴的对称点Q1（a，a+）在直线y＝x+上，
∴a+＝a+，
解得a＝﹣，
此时P（﹣，）；
若点P关于y轴的对称点Q2（﹣a，﹣a﹣）直线y＝x+上，
∴-a+＝﹣a﹣，
解得a＝-，
此时P（﹣，）；
综上所述，点P的坐标为（﹣，）或（﹣，）；
（3）已知A（4，﹣1），B（1，3），
设M（0，m），N（n， n+），
①以AB为对角线时，
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∴，
解得：，
∴N（5，3）；
②以AM为对角线时，
∴，
解得：，
∴N（3，2）；
③以AN为对角线时，
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∴，
解得：，
∴N（﹣3，﹣1）；
综上所述，当点 N的坐标为 （5，3）或 （3，2）或 （﹣3，﹣1），以 A、B、M、N 为顶点的四边形为平行四边形．
2．（2021·广东南海·九年级期中）折叠变换是特殊的轴对称变换，我们生活中常对矩形纸片进行折叠，这其中蕴含着丰富的数学知识和思想．
（1）如图1，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点E是DC的中点，将矩形ABCD沿BE折叠，点C落在点F的位置．
①求证：DFBE；
②求DF的长度．
（2）如图2，在直角坐标系中，把矩形OABC沿对角线AC所在的直线折叠，点B落在点D处，AD与y轴交于点E，OA＝2，OC＝2，点G是直线AC上的一个动点，在坐标平面内存在点H，使得以点E，A，G，H为顶点的四边形是菱形，请直接写出点H坐标．
【答案】（1）①见解析；②；（2）在坐标平面内存在点或或或使得以点E，A，G，H为顶点的四边形是菱形．
【详解】
解：（1）①由折叠的性质可知EF=EC，∠BEF=∠BEC，
∵E是CD的中点，
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∴DE=EC=EF，
∴∠EDF=∠EFD，
∵∠FEC=∠EDF+∠EFD=∠BEF+∠BEC，
∴∠EDF=∠BEC，
∴DF∥BE；
②如图所示，过点E作EG⊥DF于G，
∴FD=2DG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=6，∠C=90°，
∵∠EGD=∠BCE，∠EDG=∠BEC，
∴△EGD∽△BCE，
∴，
∵E为CD中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴A（2，0），C（0，），
∵四边形OABC是矩形，
∴BC=OA，∠ABC=90°，
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由折叠的性质可知CD=CB=OA，∠CDE=∠AOE=90°，
又∵∠CED=∠AEO，
∴△CDE≌△AOE（AAS），
∴AE=CE，
设，则，
∵，
∴，
解得，
∴，
设直线AC的解析式为，
∴，
∴，
∴直线AC的解析式为，
设，，
∴，
当AE是菱形的对角线时，则AG=EG，
∴，
解得，
由AE与HG的中点坐标相同得：，
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解得；
∴
当AG是菱形的对角线时，AE=EG，
，
解得或（舍去），
由AG与EH的中点坐标相同得
解得；
∴；
当AH为菱形对角线时，AE=AG，
∴，
解得，
由AH与EG的中点坐标相同得，
解得或；
∴或；
∴综上所述，在坐标平面内存在点或或或使得以点
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E，A，G，H为顶点的四边形是菱形．