专题40 几何最值之隐形圆问题【人教版】（解析版）.docx

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专题40 几何最值之隐形圆问题
方法技巧
模型一：定点定长作圆
模型探究：如图，在平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则动点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆．
【推广】在折叠或旋转问题中，有时会利用“定点定长作圆”模型确定动点的运动轨迹．
模型二：定弦定角作圆
模型探究：若已知定弦AB，定角∠C，要确定顶点C的运动轨迹，需分三种情况：
（1）如图①，在⊙O中，当∠C＜90°时，点C的轨迹为优弧ACB；
（2）如图②，在⊙O中，当∠C＝90°时，点C的轨迹为半圆；
（3）如图③，在⊙O中，当∠C＞90°时，点C的运动轨迹为劣弧AB .

图① 图② 图③
常见张角计算(关键定圆心)：
模型三：四点共圆
（1）如图①、②，共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧，都有A、B、C、D四点共圆
（2）

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图③ 图④
（2）如图③ 若∠A+∠C=180° ，则A、B、C、D四点共圆.
如图④ 固定线段AB同侧若∠P=∠C ，则A、B、C、P四点共圆.
题型精讲
【例1】如图，是矩形内一点，，，，则当线段最短时，　　．
【分析】因为，则点在为直径的半圆上，当点为的中点与点连线与半圆的交点时，最短，求出此时的长度便可．
【解答】解：以为直径作半圆，连接，与半圆交于点，当点与重合时，最短，
则，
，，
，，
，
过作于点，则
，
，
．
故答案为：．
【例2】如图，已知的半径为，点为直径延长线上一点，．过点任作一直线，若上总存在点，使过所作的的两切线互相垂直，则的最大值等于　　．
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【分析】根据切线的性质和已知条件先证得四边形是正方形，从而求得，以为圆心，以长为半径作大圆，然后过点作大的切线，切点即为点，此时有最大值，作出图形，根据切线的性质得出，根据勾股定理求得的长，从而证得是等腰直角三角形，即可证得的最大值为．
【解答】解：、是过所作的的两切线且互相垂直，
，
四边形是正方形，
根据勾股定理求得，
点在以为圆心，以长为半径作大圆上，
以为圆心，以长为半径作大圆，然后过点作大的切线，切点即为点，此时有最大值，如图所示，
是大圆的切线，
，
，，
，
，
，
的最大值等于，
故答案为．
【例3】如图，是的内接三角形，且是的直径，点为上的动点，且，的半径为6，则点到距离的最大值是　　．
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【分析】过作于，延长交于，则此时，点到距离的最大，且点到距离的最大值，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过作于，延长交于，
则此时，点到的距离最大，且点到距离的最大值，
，，的半径为6，
，
，
，
则点到距离的最大值是，
故答案为：．
【例4】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4cm，CD是中线，点E、F同时从点D出发，以相同的速度分别沿DC、DB方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线AE分别与CF、BC相交于G、H，则在点E、F移动过程中，点G移动路线的长度为（ ）
A．2 B．π C．2π D．π
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解：如图，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AD＝DB，
∴CD⊥AB，
∴∠ADE＝∠CDF＝90°，CD＝AD＝DB，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴∠DAE＝∠DCF，
∵∠AED＝∠CEG，
∴∠ADE＝∠CGE＝90°，
∴A、C、G、D四点共圆，
∴点G的运动轨迹为弧CD，
∵AB＝4，ABAC，
∴AC＝2，
∴OA＝OC，
∵DA＝DC，OA＝OC，
∴DO⊥AC，
∴∠DOC＝90°，
∴点G的运动轨迹的长为π．
故选：D．
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提分作业
1．如图，等边的边长为2，的半径为1，是上的动点，与相切于，的最小值是　　
A．1 B． C． D．2
【分析】连接，，作于，因为与相切于，所以，可得，当与重合时，最小，此时最小，求出的长，即可得出的最小值．
【解答】解：如图，连接，，作于，
与相切于，
，
的半径为1，
，
当与重合时，最小，
等边的边长为2，
，
，
的最小值