专题四 函数综合问题（二次函数综合问题）（66题204页）-简单数学之2022年中考二轮专题复习（解析版）（人教版）.docx

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专题四 函数综合问题（二次函数综合问题）
一、与二次函数有关的图形问题
例题（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学二模）如图1，抛物线y＝x2+bx﹣4交x轴于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，且OC＝2OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AC，BC，点P在抛物线上，且满足∠PBC＝∠ACB，求点P的坐标；
（3）如图2，直线l：y＝x+t（﹣4＜t＜0）交y轴于点E，过直线l上的一动点M作MN∥y轴交抛物线于点N，直线CM交抛物线于另一点D，直线DN交y轴于点F，试求OE+OF的值．
【答案】（1）y＝x2+x﹣4；（2）（，）；（3）8
【解析】
【分析】
（1）求出点B的坐标，由抛物线的解析式可得出b的值，抛物线的解析式即可求解；
（2）延长CA、BP交于点Q，设点Q的坐标为（m，n），求出直线AC的解析式为y=-x-4，解方程组可求出点Q的坐标，联立直线BQ和抛物线的解析式，则可得出答案；
（3）设点D的坐标为（s，），可求C（0，-4），由题意得出，设直线DN：y＝mx+n，由得出，则，可得出-t-n=8，由点的坐标可得出OE+OF=8
【详解】
解：（1）对于抛物线y＝x2+bx﹣4，当x=0时，y=-4，
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∴点C的坐标为（0，-4），即OC=4，
∵OC＝2OB
∴OB=2，即点B的坐标为（2，0），
∴，
解得b=1，
∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4；
（2）延长CA、BP交于点Q，设点Q的坐标为（m，n），
，
，
，即，
整理得：，
解方程x2+x﹣4=0得：，
∴点A的坐标为（-4，0），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
则，解得，
∴直线AC的解析式为y=-x-4，
∵点Q在直线AC上，
∴n=-m-4
∴，解得
∴点Q的坐标为（-5，1），
设直线BQ的解析式为y=px+q，
则，解得，
∴直线BQ的解析式为，
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解方程组，得，，
∴点P的坐标为（，）
（3）设点D的坐标为（s，），可求C（0，-4），
∴直线CD的解析式为，
联立，得，
∴，
∴，
设直线DN：y＝mx+n，
联立得，
∴，
∴，
∵MNy轴，
∴，
∴t+4=-4-n，即-t-n=8，
∵OE=-t，OF=-n
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∴OE+OF=8．
【点睛】
本题考查了二次函数解析式的求法及二次函数与一次函数的综合问题，解题的关键是作出辅助线，用待定系数法求出相关关系式并联立求解．
练****题
1．（2021·广东·雷州市第八中学二模）如图，在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线是由抛物线向右平移1个单位得到的，它与y轴负半轴交于点A，点B在抛物线上，且横坐标为3．
(1)写出以M为顶点的抛物线解析式及点A、B、M的坐标．
(2)连接AB，AM，BM，求；
(3)点P是顶点为M的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO与x正半轴的夹角为，当时，求点P坐标．
【答案】(1)；，，；(2)；
(3)或.
【解析】
【分析】
（1）由平移可得y＝(x﹣1)2﹣3，求出解析式即可求解各点坐标；
（2）求出MB＝2，AM＝，AB＝3，利用勾股定理可知△ABM是直角三角形，即可求解；
（3）由已知可知tanα＝＝，求出t的值即可．
(1)解：抛物线y＝x2﹣3向右平移1个单位得到y＝(x﹣1)2﹣3＝x2﹣2x﹣2，
∴M（1，﹣3），
令x＝0，则y＝﹣2，
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∴A（0，﹣2），
∵点B在抛物线上，且横坐标为3，
∴B（3，1）；
(2)解：∵M（1，﹣3），A（0，﹣2），B（3，1），
∴MB＝2，AM＝，AB＝3，
∵MB2＝AM2+AB2，
∴△ABM是直角三角形，
∴∠MAB＝90°，
∴tan∠ABM＝＝；
(3)解：设P（t，t2﹣2t﹣2），
∵点P位于对称轴的右侧，
∴t＞1，
∵PO与x轴正半轴的夹角为α，
∴P点在第一象限或P点在第四象限，
当P点在第一象限时，
∵α＝∠ABM，
∴tanα＝，
∴＝，
∴t＝3或t＝﹣（舍），
∴P（3，1）；
当P点在第四象限时，
＝，
∴t＝（舍）或t＝，
∴P（，﹣）；
综上所述：P点坐标为（，﹣）或（3，1）．
【点睛】
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