第11讲 勾股定理与锐角三角函数（题型训练）（解析版）-2022年中考数学大复习（人教版）.doc

第11讲 勾股定理与锐角三角函数
题型一 勾股定理
1．（2021·福建·福州十八中九年级期中）若二次函数y＝ax2+bx+c的图像与x轴有两个交点A和B，顶点为C，且b2﹣4ac＝12，则∠ACB的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【解析】解：令y＝0，则ax2+bx+c＝0，
∴x＝＝，
∴AB＝||．
∵b2﹣4ac＝12，
∴C（﹣，﹣）．
∴AC＝＝||．
由抛物线的对称性可知BC＝||，
∴AC＝BC＝AB，
∴∠ACB＝60°．
故选：C．
2．（2021·内蒙古呼和浩特·九年级期中）已知AB，CD是⊙O的两条平行弦，AB＝8，CD＝6，⊙O的半径为5，则弦AB与CD的距离为（ ）
A．1 B．7 C．4或3 D．7或1
【答案】D
【解析】①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图①，
过点O作OF⊥CD，垂足为F，交AB于点E，连接OA，OC，
∵AB∥CD，
∴OE⊥AB，
∵AB＝8，CD＝6，
∴AE＝4，CF＝3，
∵OA＝OC＝5，
∴由勾股定理得：EO＝＝3，OF＝＝4，
∴EF＝OF﹣OE＝1；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图②，
过点O作OE⊥AB于点E，反向延长OE交AD于点F，连接OA，OC，
EF＝OF+OE＝7，
所以AB与CD之间的距离是1或7．
故选：D．
3．（2021·河南·洛阳市洛龙区教育局教学研究室九年级期中）如图，在矩形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，连接EF，G是EF的中点，连接DG．在中，，，若将绕点B逆时针旋转，则在旋转的过程中，线段DG长的最大值是（ ）
A． B． C．10 D．12
【答案】C
【解析】解：如图，△ BEF旋转到图中位置，连接BD、BG，
∵在△BEF中，∠EBF=90°，BE=2，∠BFE=30°，
∴EF=2BE=4，BF=2 ，
∵旋转前点E是AB的中点，点F是BC的中点，
∴AB=CD=4，BC=4，
∴BD=8.
∵在Rt△BEF中，点G是EF的中点，
∴BG=EF=2.
在△BEF的旋转过程中，BG的长不变，
∵在△DBG中，BG+BD>GD，
∴当D，B，G三点共线且B点在D、G之间时，DG最大，此时，DG=BG+BD=2+8=10，
∴DG的最大值为10.
故选C.
4．（2021·浙江·杭州市杭州中学九年级期中）如图，点C，D在以AB为直径的⊙O上，且CD平分∠ACB，若CD＝，∠CBA＝15°，则AB的长是（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】B
【解析】解：过点O作交于点E，连接OC，
则，
∵，，
∴，
∵AB是⊙O的直径，
∴，
∵CD平分，
∴，
∴，
设OE=x，则OC=2x，
在中，由勾股定理得，
解得，（舍），
∴OC=2，
∴，
故选B．
5．（2021·浙江台州·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点P在△ABC内一点，连接PA，PB，PC，若∠BAP=∠CBP，且AP=6，则PC的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．3-3 D．3
【答案】D
【解析】把△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△ABP’，连接PP’
则AP’=PC，BP=BP’，∠PBP’=90°，∠AP’B=∠CPB
故△PP’B是等腰直角三角形
∴∠PP’B=45°
∵∠BAP=∠CBP
∴∠BAP=∠ABP’
∴BP’AP
∴∠APB=90°
当P’、P、C在同一直线上，且AP’⊥P’C时，AP’最短
∴∠AP’B=90°+45°=135°
∴∠PAP’=180°-∠AP’B=45°
∴△APP’是等腰直角三角形
∴AP=AP’=6
∴PC=AP’=3
故选D．
6．（2021·陕西师大附中九年级期中）如图所示，在边长为12的正方形中ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中点E、F、G分别在线段AB、BC、FD上，若，则小正方形的边长为（ ）
A．6 B．5 C． D．
【答案】C
【解析】解：在△BEF与△CFD中
∵∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°，
∴∠1＝∠3
∵∠B＝∠C＝90°，
∴△BEF∽△CFD，
∵BF＝3，BC＝12，
∴CF＝BC−BF＝12−3＝9，
又∵DF＝，
∴，即，
∴，
故选：C．
7．（2021·江西省临川第二中学九年级期