人教版专题09 全等三角形和相似三角形（讲+练）-2022年中考数学二轮复习核心专题复习攻略（解析版）.docx

专题09 全等三角形和相似三角形复****考点攻略
考点一 全等三角形的性质和判定
1．全等三角形的性质：
（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；
（2）全等三角形的周长相等，面积相等；
（3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等．
2．三角形全等的判定定理：
（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；
（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；
（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；
（4）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
3. 判定两个三角形全等的思路：
（1）已知两边
（2）已知一边、一角
（3）已知两角
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，F分别在AB，AC上，CF=CB．连接CD，将线段
CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．
（1）求证：△BCD≌△FCE；
（2）若EF∥CD．求∠BDC的度数．
【答案】（1）见解析；（2）90°
【解析】（1）∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，
∴CD=CE，∠DCE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=90°–∠ACD=∠FCE，
在△BCD和△FCE中，CB=CF，
∵BCD=∠FCE，CD=CE，CB=CF，∠BCD=∠FCE，
∴△BCD≌△FCE．
（2）由（1）可知△BCD≌△FCE，
∴∠BDC=∠E，∠BCD=∠FCE，
∴∠DCE=∠DCA+∠FCE=∠DCA+∠BCD=∠ACB=90°，
∵EF∥CD，
∴∠E=180°–∠DCE=90°，
∴∠BDC=90°．
【例2】如图，已知，．求证：．
【答案】见解析．
【解析】证明：在△ADB和△BCA中，
∴△ADB≌△BCA（SSS），
∴．
考点二　比例线段及其性质
1．比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．
2．比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a∶b=c∶d（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
3．判定四条线段是否成比例：只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
4. 黄金分割：把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB0.618AB
5. 平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
推论：
（1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
【例3】在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD=1，BD=3，那么由下列条件能够判断DE∥BC的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】如图，∵AD=1，BD=3，∴，当时，，∵∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC，根据选项A、B、C的条件都不能推出DE∥BC，
故选D．
【例4】生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中为2米，则约为（ ）
A．1．24米 B．1．38米 C．1．42米 D．1．62米
【答案】A
【解析】解：由题意可知，a:b≈0.618，代入b=2，∴a≈2×0.618=1.236≈1.24．故答案为：A
考点三 相似三角形的性质和判定
1．相似三角形的性质：
（1）相似三角形的对应角相等；
（2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；
（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
2．相似三角形的判定
（1）有两角对应相等的两个三角形