人教版初中数学专题20 三角形存在性问题【考点精讲】（解析版）.docx

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专题20 三角形存在性问题

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方法技巧
1．判定△ABD的形状，并说明理由。
运用勾股定理或两点间的距离公式，求出该三角形各边的长，再根据勾股定理的逆定理判定三角形的形状。
2．在对称轴x=1上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由.
设出动点P的坐标为(1,t)后，分三种情况，若P为顶点，则PB=PC；若B为顶点，则BP=BC；若C为顶点，则CP=CB。分别用两点间的距离公式求出或表示各线段的长度，列方程求解即可。
3．若平行于x轴的动直线l与直线BD交于点F,与抛物线交于点P,若△ODF为等腰三角形,求出点P的坐标.
用勾股定理求平面直角坐标系内的两点间的距离，再分类讨论等腰三角形各边的情况，进而求出点P的坐标。
4．△ABD与△BOD是否相似？说明理由.
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用两点间的距离公式分别表示两个三角形的各边之长，再用相似的判定方法，注意相似中没有指明对应边，所以要分类讨论。
题型精讲
题型一：等腰三角形存在性问题
【例1】（2021·四川南充市）如图，已知抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ．当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由．
（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且．在y轴上是否存在点F，使得为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）四边形OCPQ是平行四边形，理由见详解；（3）（0，）或（0，1）或（0，-1）
【分析】
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（1）设抛物线，根据待定系数法，即可求解；
（2）先求出直线BC的解析式为：y=-x+4，设P（x，-x+4），则Q（x，），（0≤x≤4），得到PQ =，从而求出线段PQ长度最大值，进而即可得到结论；
（3）过点Q作QM⊥y轴，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，交于点N，推出，从而得，进而求出E（5，4），设F（0，y），分三种情况讨论，即可求解．
【详解】
解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线，
∴B（4，0），C（0，4），
设抛物线，把C（0，4）代入得：，解得：a=1，
∴抛物线的解析式为：；
（2）∵B（4，0），C（0，4），
∴直线BC的解析式为：y=-x+4，
设P（x，-x+4），则Q（x，），（0≤x≤4），
∴PQ=-x+4-()==，
∴当x=2时，线段PQ长度最大=4，
∴此时，PQ=CO，
又∵PQ∥CO，
∴四边形OCPQ是平行四边形；
（3）过点Q作QM⊥y轴，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，交于点N，
由（2）得：Q（2，-2），
∵D是OC的中点，
∴D（0，2），
∵QN∥y轴，
∴，
又∵，
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∴，
∴，
∴，即：，
设E（x，），则，解得：，（舍去），
∴E（5，4），
设F（0，y），则，
，，
①当BF=EF时，，解得：，
②当BF=BE时，，解得：或，
③当EF=BE时，，无解，
综上所述：点F的坐标为：（0，）或（0，1）或（0，-1）．
．
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题型二：直角三角形存在性问题
【例2】（2021·四川广安市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于、、三点，其中点坐标为，点坐标为，连接、．动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度向点做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为秒．
（1）求、的值；
（2）在、运动的过程中，当为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？
（3）在线段上方的抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）b=2，c=3；（2）t=2，最小值为4；（3）（，）
【分析】
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点P作PE⊥x轴，垂足为E，利用S四边形BCPQ=S△ABC-S△APQ表示出四边形BCPQ的面积，求出t的范围，利用二次函数的性质求出最值即可；
（3）画出图形，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，